Qarshi davlat universiteti matematik analiz va algebra kafedrasi



Download 0,95 Mb.
Pdf ko'rish
bet3/5
Sana23.01.2020
Hajmi0,95 Mb.
#36872
1   2   3   4   5
Bog'liq
chiziqli operatorlarning bazi bir tatbiqlari


imA

)

dim(ker



)

dim(


 bo`ladi. 

4-teorema. 

1

 va 

2

 lar   o`lchovli 



 chiziqli fazoning qism fazolari va  

 

V



V

V

dim


dim

dim


2

1

  bo`lsin, u holda 



)

,

(



V

V

L

  da  shunday  chiziqli 



A

  operator 

topiladiki,  

imA

V

1

 va 



A

V

ker


2

 bo`ladi. 

6-ta`rif. 

A

 chiziqli operatorning rangi deb 

                               

)

dim(imA



RangA

   


songa aytiladi. 

Natija. 


)

,

(



V

V

L

  dagi 


A

  chiziqli  operator 

1

    teskari  operatorga  ega  bo`lishi 

uchun  


                                              

n

V

RangA

dim


      

bo`lishi zarur va etarli. 

     6-teorema. 

A

 va 


B

 

)



,

(

V



V

L

 dagi chiziqli operatorlar bo`lsin, u holda 

     

rangB

rangAB

rangA

rangAB

,



 

24 


    7-teorema.     

A

  va 


B

 

)



,

(

V



V

L

  dagi  chiziqli  operatorlar    va 



n

V

  o`lchovli 

chiziqli fazo bo`lsin, u holda 

                         



n

rangB

rangA

rangAB

  

Natija . Agar 



n

rangA

 ( 


V

n

 fazoning o`lchovi), u holda  

                             

rangB

rangBA

rangAB

 

 



                    2.2. Chiziqli operatorlarni matritsali yozivi. 

 

          Chiziqli  fazoda berilgan bazisdagi chiziqli operatorlarni matritsalari. 



    fazodagi 

n

e

e

e

,...,


,

2

1



 bazisni fiksirlaymiz, 

V

x

  dagi ixtiyoriy element va 

                                

k

n

k

k

e

x

x

1

                                                                           (1) 



esa  bu    elementni  berilgan  bazisdagi  yoyilmasi  hamda 

A

  esa 


)

,

(



V

V

L

  dagi  


chiziqli operator bo`lsin u holda (1) dan 

                                     



k

n

k

k

Ae

x

Ax

1

                                                                (2) 



                                  

j

n

j

j

k

k

e

a

Ae

1

                                                                  (3) 



deb olsak, (2) ni quyidagicha yozamiz: 

                               



j

j

n

j

n

k

j

k

j

n

k

n

j

j

k

k

e

x

a

e

a

x

Ax

)

(



1

1

1



1

  

Shunday qilib, 



Ax

y

 va 


)

,...,


,

(

2



1

n

y

y

y

y

 elementning koordinatalari 

bo`lsa u holda 

                    



j

n

k

j

k

j

x

a

y

1

  ,



n

j

,...,


2

,

1



                                                   (4) 

Ushbu  A=

)

(

j



k

a

  kvadrat  matritsani  qaraylik,  bu  matritsa  berilgan 



n

e

e

e

,...,


,

2

1



 

bazisdagi 



А

  chziqli  operatorning  matritsasi  deyiladi.  Oldingi  ko`rsatilgan  usul 

bilan birgalikda uni berilgan bazisdagi matritsaviy yozuvi ham ishlatiladi: 

                                     



Ax

y

 


 

25 


Agar 

)

,...,



,

(

2



1

n

x

x

x

x

    bo`lsa,  u  holda   

)

,...,


,

(

2



1

n

y

y

y

y

    dagi   



j

  

n

j

,...,


2

,

1



  (4)  formula  orqali 

A

  ning 


j

k

a

  elementlari  esa  (3)  formula  orqali 

hisoblanadi. 

Agar 


A

  operator  nol  operator  bo`lsa,  u  holda  bu  operatorning    A 

matritsasining  barcha  elementlari    ixtiyoriy  bazisda  nollardan  iborat,  ya`ni  A 

matritsa nol matritsa bo`ladi. 

Agar 

A

  operator  birlik  operator  bo`lsa,  ya`ni 



I

A

  bo`lsa,  u  holda  bu 

operatorning  ixtiyoriy  bazisdagi  matritsasi  birlik  matritsadan  iborat  bo`ladi,  ya`ni 

A=

E

1-teorema.  chiziqli fazoda 



n

e

e

e

,...,


,

2

1



 bazis berilgan va A=

j

k

   n

 tartbli 

kvadrat  matritsa  bo`lsin,  u  holda

A

  shunday  yagona  chiziqli  operator  mavjudki, 

bu 

A

 matritsa berilgan bazisda  ushbu operatorni matritsasi bo`ladi.  

 A  va  B  matritsalar  n

tartibli  kvadrat  matritsalar  bo`lsin.   



A

  va 


B

       

fazoda ularga mos 

}

{



k

  bazisdagi  operatorlar bo`lsin, u holda teoremaga ko`ra  

A+ B  matritsaga 



B

A

 operator mos keladi. Bunda 

 biror son. 

2-teorema. 



A

 chiziqli operatorning  



rangA

 rangi matritsasi rangiga teng. 

1-natija.  A  va  B      matritsalar  ko’paytmasining  rangi  quyidagi  munosabatlarni 

bajaradi:  

                 

rangB

rangAB

rangA

rangAB

,

,



n

rangB

rangA

rangAB

 2-natija. 



A

  operator  uchun teskari 

1

 operator faqat va faqat 

A

 operator 

matritsasining rangi 

 ga (

V

n

dim ) teng bo’lgandagina  mavjud  

bo’ladi.  Bu holda A matritsaga teskari  

1

 matritsa ham mavjud  bo’ladi. 

 Endi yangi bazisga o’tganda chiziqli operator matritsasini almashtirishni qaraylik. 

  chiziqli fazo, 



A

 esa  


)

,

(



V

V

L

 dagi chiziqli operator 



n

e

e

e

,...,


,

2

1



va 

n

e

e

e

~

,...,



~

,

~



2

1

  



dagi  

2

 ta bazis hamda  



                                      

n

k

e

u

e

i

n

i

i

k

k

,...,


2

,

1



,

~

1



                                  (5) 

esa 


}

{

k



 bazisdan 

}

~



{

k

e

 bazisga o`tish formulasi bo`lsin 



 

26 


)

(

i



k

u

U

  deb  olamiz, 



n

rangU

  ga  teng. 

)

(

j



k

a

A

  va 


)

~

(



~

j

k

a

A

  matritsalar 



A

 

operatorni       



}

{

i



  va 

}

~



{

k

e

 bazislardagi matritsalari bo`lsin 

Bu matritsalar orasidagi  munosabatni topamiz. 

   3-teorema. 



A

  operatorni 

}

{

i



    va 

}

~



{

k

e

  bazislardagi 

)

(

j



k

a

A

  va 


)

~

(



~

j

k

a

A

 

matritsalari orasida  



                            

U

A

U

A

~

1



                                                                                (6) 

munosabat mavjud. 

   

U

A

U

A

~

1



 formulani ikkala tomonini o`ngdan 

1

U

 va chapdan 

U

 ga ko`paytirib, 

quyidagi tenglikni hosil qilamiz: 

                            

1

~

UAU



A

 

                                                                        (7) 



    A va B  n

 tartibli kvadrat matritsalar. 



A

 va 


B

  lar 


}

{

i



 bazisdagi  ularni mos 

operatorlari  bo`lsin.  U  holda 



B

A

    matritsaga 



B

A

  chiziqli  operator  mos 

keladi. 

Yuqoridagi teoremadan  

                                               

A

A

~

det



det

 

kelib chiqadi. 



Shunday  qilib,  chiziqli  operatorning  matritsasini  determinanti  bazisni  tanlab 

olishga  bog`liq  emas.  Shu  sababli 



А

  chiziqli  operatorning  determinanti 



A

det  


tushunchasini kiritish mumkin, 

                                           



A

A

det


 

A -  


A

 operatorning ixtiyoriy bazisdagi matritsasi. 

             

                          

                    2.3.Chiziqli operatorning xarakteristik ko`phadi. 

     


)

,

(



V

V

L

 dagi 


А

chiziqli operator, 



I

esa aynan operator bo`lsin. 

1-ta`rif.   ga nisbatan ko`phad bo`lgan 

                                                                  

)

det(


I

A

 

A

 operatorning xarakteristik ko`phadi deyiladi. 


 

27 


   fazoda 

}

{



k

  bazis  berilgan  va 

)

(



j

k

a

A

A

  operatorning  bu  bazisdagi 

matritsasi  bo`lsin.  U  holda 

A

  operatorning  xarakteristik  ko`phadi  quyidagi 

ko`rinishda bo`ladi: 

                         

.

...


...

...


...

...


...

...


)

det(


2

1

2



2

2

1



2

1

2



1

1

1



n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

I

A

 

Xarakteristik  ko`phadning 



k

  oldidagi  koeffisientini 



k

  orqali  belgilab  uni 

quyidagicha yozamiz: 

                                      

n

k

k

k

d

I

A

0

.



)

det(


 

Shunday  qilib, 

)

det(


I

A

  determinant  qiymati  bazisni  tanlab  olishga  bog`liq 

emas,  u  holda  xarakteristik  ko`phadning 

k

  koeffisientlari  bazisni  tanlab  olishga 

bog`liq  emas,  ular  invariantlar  bo`ladi,    ya`ni  ular    bazisni  tanlab  olishga  bog`liq 

bo`lmagan miqtorlar. 

  Xususan, 



n

n

n

a

a

a

d

...


2

2

1



1

1

  invariant  bo`ladi.  Bu  invariant 



A

  operatorning  

izi deyiladi va  trA orqali belgilanadi: 

                                                   



n

n

a

a

a

trA

...


2

2

1



1

0



)

det(


I

A

 tenglama 



A

 operatorning xarakteristik   tenglamasi deyiladi. 

                 Chiziqli operatorlarning xos qiymatlari va xos vektorlari. 

       


n

V

1

  o`lchovli      chiziqli  fazoning    qism  fazosi    va 



)

,

(



V

V

L

A

  dagi 


chiziqli operator bo`lsin. 

2-ta`rif. 

1

 

A

 operatorning invariant qism fazosi deyiladi, agarda 

1

 tegishli barcha 

 elementlar uchun  Ax element ham 

1

 da yotsa. 



A

 operatorning invariant qism fazolariga  



A

ker  va 


imA qism fazolar misol bo`la 

oladi. 


3-ta`rif.   son 

A

 operatorning xos qiymati deyiladi, agarda shunday noldan farqli                  

                                              

x

Ax

                                                                 (1) 



 

28 


tenglikni  qanoatlantiruvchi    element  mavjud      bo`lsa.  Bu  element 

A

 

operatorning xos vektori deyiladi. 



     1-teorema.   son 

A

 operatorning xos qiymati bo`lishi uchun uning   

                                           

0

)



det(

I

A

 

xarakteristik tenglamasini ildizi bo`lishi zarur va etarli. 



Isboti. 

А operatorning xos qiymati va    bu   songa mos 

)

0



(x

 xos vector 

bo`lsin. (1) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz: 

                                                         

.

0

)



(

x

I

A

 

Shunday  qilib,  x



noldan  farqli  element  va  oxirgi  tenglikdan   

0

)



ker(

I

A

 

kelib chiqadi, ya`ni  



                            

.

1



))

dim(ker(


I

A

                                                                 (2) 

Ma`lumki,  

                         

,

))

dim(ker(



))

(

dim(



n

I

A

I

A

im

 

bu tenglikdan va (2) tengsizlikdan 



                           

1

))



(

dim(


n

I

A

im

                                                               (3) 

kelib chiqadi. 

Ta`rifdan 

))

(

dim(



I

A

im

   


I

A

  operator  rangiga  teng.  Shu  sababli  (3) 

tengsizlikdan 

                                  



n

I

A

rang

)

(



                                                                  (4) 

kelib chiqadi. 

Shunday  qilib,  agar 

xos  qiymat  bo`lsa,  u  holda 



I

A

  operatorning 



I

A

 

matritsaning rangi 



 dan kichik, ya`ni 

0

)



det(

I

A

 va demak, 

xarakteristik 

tenglamani ildizi. 

 Endi 

(1)  xarakteristik  tenglamaning  ildizi  bo`lsin.  U  holda  (3)  tengsizlik 



o`rinli  va  demak  (2)  tengsizlik  o`rinli.  Bundan  esa 

  son  uchun  noldan  farqli 

shunday 

 element mavjudki, 

                                                      

.

0

)



(

x

I

A

 

Bu oxirgi tenglik (1) ga ekvivalent, shu sababli 



xos qiymat.  

Teorema isbotlandi. 



 

29 


Natija. Har qanday chiziqli operator xos qiymatga ega. 

  Haqiqatan  ham,  kompleks  sonlar  nazariyasining  asosiy  teoremasiga  ko`ra 

xarakteristik tenglama har doim ildizga ega. 

     2-teorema.  Berilgan 

}

{

k



  bazisda 

A

  operatorning    A  matritsasi  dioganal 

ko`rinishda  bo`lishi  uchun, 

k

  bazis  vektorlari  bu  operatorning  xos  vektorlari 

bo`lishi zarur va etarli. 

 Isboti. 

k

 bazis vektorlar 

А

 operatorning xos vektorlari bo`lsin. U holda 

                    

,

k



k

k

e

Ae

                                                                                       (1) 

  shu sababli 

A

 operatorning A matritsasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: 

             

n

A

...


0

0

...



...

...


...

0

...



0

0

...



0

2

1



,                                                                          (2) 


Download 0,95 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish