Qarshi davlat universiteti matematik analiz va algebra kafedrasi



Download 0,95 Mb.
Pdf ko'rish
bet2/5
Sana23.01.2020
Hajmi0,95 Mb.
#36872
1   2   3   4   5
Bog'liq
chiziqli operatorlarning bazi bir tatbiqlari


I.  Ushbu  fazoning  ixtiyoriy  ikkita    va    elementlariga  ularni  skalyar 

ko`paytmasi  deb  ataluvchi 

)

,

(



y

x

  haqiqiy  sonni    mos   qo`yish qoidasi   berilgan 

bo`lsa. 

II.  Ushbu  aniqlangan  skalyar    ko`paytma  quyidagi    to`rtta  aksiomani 

qanoatlantirsa: 

1. 

)

,



(

)

,



(

x

y

y

x

  (o`rin   almashtirishlik   va simmetriklik xossasi). 

2. 

)

,



(

)

,



(

)

,



(

2

1



2

1

y



x

y

x

y

x

x

  (tarqatish xossasi). 

3. 

)

,



(

)

,



(

y

x

y

x

 barcha  haqiqiy    lar   uchun. 

4. 

0

)



,

(

x



x

,  agarda 



x

  noldan    farqli  element      bo`lsa; 

0

)

,



(

x

x

,  agar 


x

  nol 


element bo`lsa. 

 

17 


Agar o`rganiladigan ob`ektlar  va yoqorida   sanalgan qoidalar berilgan   bo`lsa , u 

holda evklid  fazosi konkret (aniq) fazo deyiladi. 

Evklid fazosiga   misollar  keltiramiz. 

      1-misol.  Barcha  erkin  vertorlarning 

3

  chiziqli    fazosini  qaraylik.Ikkita  

ixtiyoriy  vektorining  skalyar  ko`paytmasini  analitik  geometriyaga  aniqlanga 

skalyar  ko`paytma    kabi  kiritaylik(  ya`ni  bu  vektorlar    uzunligini  ko`paytmasiga 

ular  orasidagi  burchak  kosinusini  ko`paytmasi).U  holda  ko`rish  qiyin  emaski 

skalyar ko`paytmadagi 1- 4 xossalar  bajariladi. Demak, 

3

 fazo ushbu aniqlangan 

skalyar ko`paytmaga nisbatan evklid fazosi bo`ladi. 



      2-misol.  Barcha   

b

x

a

  oraliqda  aniqlangan  va    uzluksiz 

)

(t



x

 

funksiyalarning 



]

,

b



a

C

  cheksiz  o`lchovli  chiziqli  fazosini  qaraylik.  Ikkita 

)

(t



x

 

va 



)

(t



y

 funksiyalarning  skalyar ko`paytmasini bu funksiyalarni ko`paytmasini (   

dan   b gacha ) integrali  sifatida aniqlaymiz: 

                                               



x t y t dt

a

b

( ) ( ) .

                                                            (1) 

Sodda  ko`rish    mumkinki  skalyar  ko`paytmadagi  1-4  xossalar  bajariladi.Demak, 

]

,

b



a

C

  fazo  ushbu  aniqlangan  (1)  skalyar  ko`paytmaga    nisbatan  cheksiz   

o`lchovli evklid  fazosi  bo`ladi. 

     3-misol. 

n

o`lchovli  chiziqli 



n

  fazo  evklid    fazosiga  misol      bo`la 

oladi.Agarda  unda    ixtiyoriy      ikkita 

)

,...,


,

(

2



1

n

x

x

x

x

  va 


)

,...,


,

(

2



1

n

y

y

y

y

 

vektorlar   uchun skalyar   ko`paytmani quyidagicha  aniqlasak 



                        

n

n

y

x

y

x

y

x

y

x

...


)

,

(



2

2

1



1

                                                      (2) 

Ko`rish  qiyin   emaski,ushbu   kiritilgan skalyar ko`paytma uchun 1- 4 aksiomalar  

bajariladi. 

Bu evklid fazosi   ko`p hollarda 

n

 orqali   belgilanadi. 

   4-misol.Ushbu 

n

  chiziqli    fazoda  skalyar  ko`paytmani  (2)  dan  farqli  ,unga 

nisbatan umumiy bo`lgan holda kiritaylik. 

Buning  uchun 

n

 tartibli ushbu  kvadrat  matritsani qaraymiz: 



 

18 


                        

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

nn

11

12



1

21

22



2

1

2



...

...


...

...


...

...


...

                                                                 (3) 

Ushbu matritsa  yordamida 

n

x

x

x

n

,...,


,

2

1



 o`zgaruvchili bir jinsli ikkinchi   tartibli 

ko`phad  tuzamiz: 

                                      

a x x

ik

k

n

i

n

i k

1

1



,                                                                    (4) 

Bunday ko`phad (3) matritsadan  tuzilgan  kvadtik forma  deyiladi. (4) 

kvadratik      forma  musbat      aniqlangan  deyildi,  agarda  u 

n

x

x

x

,...,


,

2

1



 

o`zgaruvchilarning hammasi bir  vaqtda nol teng  bo`lmagan qiymatlarida musbat  

qiymatni      qabul  qilsa.  Demak,    musbat  aniqlangan  kvadratik  forma  faqat 

0

...



2

1

n



x

x

x

  bo`lganda  nolga  teng,boshqa  barcha    hollarda  musbat  qiymat  

qabul  qiladi. 

(3) matritsa quyidagi  ikkita  shartni qanoatlantirsin: 

 1. U musbat  aniqlangan (4) kvadratik formani ifodalasin. 

2.  Simmetrik  bo`lsin  (bosh  dioganalga    nisbatan)  ya`ni  barcha 



n

i

,...,


2

,

1



  va 

n

k

,...,


2

,

1



 lar  uchun 

ki

ik

a

a

 shartni   qanoatlantirsin. 

1-  va  2-  shartlarni      qanoatlantiruvchi  (3)    matritsa    yordamida 

n

  fazodagi 

ikkita


)

,...,


,

(

2



1

n

x

x

x

x

  va 


)

,...,


,

(

2



1

n

y

y

y

y

    lar    uchun  skalyar  ko`paytmani 

quyidagicha   aniqlaymiz: 

                                 

( , )

,

x y



a x y

ik i

k

n

i

n

k

1

1



                                                              (5)     

Oson      ko`rish      mumkinki,  bunday      aniqlangan  skalyar    ko`paytma  uchun  1-4  

arsiomalar   bajariladi. 

 Ta`rif.  Chiziqli 



R

  fazo  normallangan    deyiladi,  agarda    quyidagi    ikkita      shart   

bajarilsa: 

I. 

R

 dagi  har  bir 



 element uchun unning normasi ( uzunligi) deb ataluvchi va 

  deb belgilanuvchi  haqiqiy son mos  qo`yadigan qoida aniqlamgan   bo`lsin. 

II. Ushbu aniqlangan qoida uchun quyidagi uchta aksioma bajarilsin: 

 

19 


1 . 

0

x

, agarda   noldan farqli  element  bo`lsa, 

0

x

 agarda 

0

x

 element  

bo`lsa. 


2 . 

x

x

  barcha   elementlar   va   barcha   haqiqiy  sonlar uchun. 

3 .  Ixtiyoriy    va      elemenlar  uchun  quyiqagi  uchburchak  tengsizligi  yoki 

Minkovskiy tengsizligi deb  ataluvchi 

                                

y

x

y

x

 

tengsizlik   o`rinli. 



              

                               

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


 

20 


                                      II bob. Chiziqli operatorlar. 

 

                 2.1.Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari. 



 

     1-ta`rif. va  lar mos ravishda   va   o`lchovli chiziqli fazolar bo`lsin.  

ni    ga  o`tqazuvchi 

A

  operator  deb, 



W

V

A:

  akslantirishga  aytiladiki,  u    V 

ning har bir   elementini  fazoning biror   elementiga o`tqazadi. 

     2-ta`rif. ni  ga o`tqazuvchi 



A

 operator chiziqli operator deyiladiki, agarda  



  ning  ixtiyoriy  ikkita 

1

va 

2

  hamda  λ  kompleks  son  uchun  quyidagi  shartlar 

bajarilsa: 

1. 

2

1



2

1

)



(

Ax

Ax

x

x

A

 (operatorni additivligi) 

2. 

Ax

x

A

)

(



  (operatorning bir jinsligi) 

  Agar   fazo kompleks tekislikdan iborat bo`lsa, u holda  ni  ga o`qazuvchi 



A

 chiziqli operator  chiziqli forma yoki chiziqli funksional deyiladi. 

 Agar    fazo    fazo  bilan  ustma-ust  tushsa,  u  holda    ni    ga  o`tqazuvchi 

chiziqli operator  fazoni chiziqli almashtirishi deyiladi. 



A

  va 


B

  ni    ga  o`tqazuvchi    ikkita  chiziqli  operator  bo`lsin.  Bu 

operatorlarning 

B

A

 yig`indisi deb quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga 

aytamiz: 

                                  



Bx

Ax

x

B

A

)

(



                                                              (1) 

A

operatorning λ skalyarga ko`paytmasi  Adeb , quyidagi tenglik bilan aniqlangan 

operatorga aytiladi: 

                                  

)

(

)



(

Ax

x

A

                                                                      (2) 



 nol operator deb,  fazoning barcha elementlarini   fazoning nol elementiga 

o`tqazuvchi operatorga aytiladi: 

                               

.

0



Ox

 

A

  operatorga  qarama-qarshi  operator  deb  quyidagicha  aniqlangan 

A

operatorga 

aytiladi: 

                                              



A

A

)

1



(

.                 



 

21 


Tasdiq.  Barcha  ni    ga  o`tqazuvchi    operatorlarning 

)

,



(

W

V

L

  to`plami 

yuqorida  aniqlangan  operatorlarni  qo`shish  va  songa  ko`paytirish  amallari  hamda 

tanlangan  nol  operator  va  qarama-qarshi  operatorlarga  nisbatan  chiziqli  fazo 

tashkil etadi. 

)

,



(

W

V

L

 to`plamni o`rganamiz. 

Aynan yoki birlik 

I

 operator deb quyidagi operatorga aytiladi: 

                                

x

Ix

 

(bu erda 



V

x

 fazoning ixtiyoriy elementi) 

)

,

(



W

V

L

 fazoda operatorlarning ko`paytmasi tushunchasini kiritamiz. 

)

,

(



W

V

L

  fazodagi 



A

  va 


B

  operatorlarning 



AB

  ko`paytmasi  deb,  quyidagi 

operatorga aytiladi: 

                               

)

(

)



(

Bx

A

x

AB

                                                                  (3) 

Umumiy holda 

                                           



BA

AB

         

 

)

,



(

W

V

L

 fazodagi chiziqli operatorlar quyidagi xossalarga ega: 

1.   

B

A

AB

)

(



)

(

 



2.   

BC

AC

C

B

A

)

(



 

3.   


AC

AB

C

B

A

)

(



                                                                               (4) 

4.    


)

(

)



(

BC

A

C

AB

                        

      4  xossadan 

)

,



(

W

V

L

fazodagi  chekli  sondagi  operatorlar  uchun  ko`paytmani 

aniqlash  mumkinligi  kelib  chiqadi  va  xususan 

A

  operetorning   



n

  darajasi 

quyidagi formula orqali aniqlanadi: 

                                                             



A

AA

A

n

...  


Ravshanki, 

                                                             



m

n

m

n

A

A

A

 

munosabat o`rinli. 



3-tarif. 

)

,



(

V

V

L

  dagi 


A

  operator  uchun 

)

,

(



V

V

L

  dagi  chiziqli 



B

  operator    teskari 

operator deyiladi, agarda  


 

22 


                                     

I

BA

AB

   


bo`lsa. 

A

  operatorga  teskari  operator  odatda 

1

  orqali  belgilanadi,  demak  ixtiyoriy 

V

x

uchun  


                        

x

Ax

A

1

 



Shunday qilib, agar 

0

1



Ax

A

 bo`lsa, u holda 

0

x

 bo`ladi, ya`ni agar 



A

 teskari 

operatorga  ega bo`lsa, u holda 

0

Ax

  ekanligidan 

0

x

  kelib  chiqadi.   dan   

ga  o`tqazuvchi 



A

  chiziqli  operator  o`zaro  bir  qiymatli  deyiladi,  agarda  ixtiyoriy 

ikkita har xil 

1

 va 

2

 elementlarga har xil  

1

1



Ax

y

 va 


2

2

Ax



y

 elementlar mos 

kelsa. 

Agar 


A

 operator  dan  ga o`zaro bir qiymatli o`tqazsa, u holda   



V

V

A:

  akslantirish    ni    ga  akslantiradi,ya`ni  har  bir 



V

y

  element 

o`zining biror  

V

x

  obraziga ega bo`ladi: 

                                  

Ax

y

  

Bu  faktrni  o`rinli  ekanligini  isbotlash  uchun    fazoning      ta  chiziqli  erkli 



n

x

x

x

,...,


,

2

1



  elementlarini  bu  fazoning      ta  chiziqli  erkli 

n

Ax

Ax

Ax

,...,


,

2

1



 

elementlariga akslanishini ko`rsatish etarli. 



n

x

x

x

,...,


,

2

1



  lar 

  fazoning  chiziqli  erkli  elementlari  bo`lsin.  Agar 

0

...



2

2

1



1

n

n

Ax

Ax

Ax

 bo`lsa, u holda 



A

 chiziqli operator ekanligidan 

                  

0

)



...

(

2



2

1

1



n

n

x

x

x

A

 

A

 operator  ni  ga bir qiymatli akslantirish ekanligidan 

                       

0

...


2

2

1



1

n

n

x

x

x

 

kelib chiqadi. 



Olishimizga ko`ra 

n

x

x

x

,...,


,

2

1



  lar chiziqli erkli. Shu sababli 

 

0



...

2

1



n

. Demak, 



n

Ax

Ax

Ax

,...,


,

2

1



  elementlar chiziqli erkli. 

Tadiq. 


)

,

(



V

V

L

 dagi 


A

 chiziqli operator teskari operatorga ega bo`lishi uchun u  

ni 

 ga bir qiymatli o`tqazishi zarur va etarli. 


 

23 


4-ta`rif. 

A

  chiziqli  operatorning  yadrosi  deb    fazoning 

0

Ax

    tenglikni 

bajaruvchi    elementlari  to`plamiga  aytiladi. 

A

  chiziqli  operatorning  yadrosi 



A

ker  orqali belgilanadi. Agar 

0

ker A



  bo`lsa, u holda 

A

 operator  ni  ga bir 

qiymatli o`tqazadi. 

0

ker A



  shart 

A

  operatorni  teskari  operatorga  ega  bo`lishini  zaruriy  va  etarli 

sharti bo`ladi. 

5-ta`rif. 



A

 chiziqli operatorning obrazi deb  fazoning  

                                                                

Ax

y

 

ko`rinishda ifodalanadigan elementlari to`plamiga aytiladi. 



A

 chiziqli operatorning obrazi  imA orqali belgilanadi. 

     Agar 

0

ker A



  bo`lsa,     

V

i m A

  bo`ladi  va  aksincha.  Shu  sababli   



V

imA

 

shart  ham 



A

  operatorni  teskari  operatorga  ega  bo`lishini  zaruriy  va  etarli  sharti 

bo`ladi. 

Ravshanki, 



A

ker  va 


V

imA

 fazoning chiziqli fazo ostisi bo`ladi. 

3-teorema.  fazoning  

V

dim  o`lchovi   ga va 

)

,

(



V

V

L

A

  dagi chiziqli operator 

bo`lsin, u holda 

n

A


Download 0,95 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish