Программа для решения слау методом простых итераций


Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя



Download 480 Kb.
bet6/9
Sana26.02.2022
Hajmi480 Kb.
#466626
TuriПрограмма
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
Решение систем линейных уравнений методом зейделя

2.2.Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя
2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида
a11x1+ a12x2 + … + a1nxn = b1 ,
a21x2+ a22x2 + … + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2+ … + annxn = bn
для n≤ 10 по методу Зейделя.
2.2.2.Тестовый пример.
4,1x1+ 0,1x2+ 0,2x3 + 0,2x4 = 21,14 ,
0,3x1 + 5,3x2 + 0,9x3– 0,1x4 = – 17,82 ,
0,2x1 + 0,3x2 + 3,2x3+ 0,2x4 = 9,02 ,
0,1x1 + 0,1x2 + 0,2x3– 9,1x4 = 17,08 ,
x1 = 5,2, x2 = –4,2, x3 = 3, x4 = –1,8.


2.2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
К численным методам линейной алгебры относятся численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы решения СЛАУ разбиваются на две группы. К первой группе принадлежат так называемые точные или прямые методы - алгоритм, позволяющий получить решение системы за конечное число арифметических действий. Вторую группу составляют приближенные методы, в частности итерационные методы решения СЛАУ.


2.3 Метод простой итерации.
Описание метода
Рассмотрим СЛАУ вида
Ax = B, где А - матрица. (1)

A = {aij}i, j = 1…n


B = {bi}x = {xi}

Если эту систему удалось привести к виду x = Cx + D, то можно построить итерационную процедуру

xk = Cxk-1 + D

xk → x*, где х* - решение заданной системы.


В конечном варианте система будет имееть вид:
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя.
Заметим, что B = B1 + B2 и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству
x= B1x + B2 x +c .
Выберем начальное приближение x(0)= [x1(0), x2(0),…, xn(0)]T. Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B2ивычисляя полученное выражение, находим первое приближение
x(1)= B1x(0) + B2x(1)
Подставляя приближение x(1), получим
x(2)= B1x(1) + B2x(2)
Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x(0),x(1),…, x(n), … приближений к вычисляемых по формуле
x(k+1)= B1(k+1) + B2(k) + c
или в развернутой форме записи
x1(k+1) = b12x2(k) + b13x2(k)+ … + b1nxn(k) + c1 ,
x2(k+1) = b21x1(k+1) + b23x3(k)+ … + b2nxn(k) + c2 ,
x3(k+1) = b31x1(k+1) + b32x2(k+1)+ … + b3nxn(k)+ c3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn(k+1) = bn1x1(k+1) + bn2x2(k+1) + bn3x3(k+1) + … + cn .
Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод Зейделя в одну формулу, получим
xi(k+1)= xi(k) – aii–1(∑j=1i–1aijxj(k+1) + ∑j=1naijxi(k) – bi).
Тогда достаточным условием сходимости метода Зейделя будет
∑j=1, j≠i n | a­ij | < | a­ii |
(условие доминированния диагонали).
Метод Зейделя иногда называют также методом Гаусса-Зейделя, процессом Либмана, методом последовательных замещений.
Условием сходимости для матрицы С выполняется, если сумма модулей коэффициентов меньше единицы по строкам или по столбцам, т.е.


, или  .

Необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.


Для преобразования системы можно выполнить следующие операции:

x1=a11-1 (c1-a12x2 - a13x3-… - a1nxn)


x2=a22-1 (c2-a21x2 - a23x3-… - a2nxn)
………………………. .
xn=ann-1 (cn-an1x2 - an3x3-… - an-1nxn-1)
В результате получим систему:
x1=0+ c12x2+ c13x3-…+ c1n-1xn-1+ c1nxn+d1
x2= c21x2+0 +c23x3+…+ c2n-1xn-1+ c2nxn+d2
………………………………………………………. .
xn= cn1x1+ cn2x2 +cn3x3+…+ cnn-1xn-1+ 0+dn

В ней на главной диагонали матрицы С находятся нулевые элементы, остальные элементы выражаются по формулам:

сij=-aij/aii, di=ci/aii (i,j=1,2,3…n, i<>j)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1 (k), х2 (k), х3 (k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1 (k-1), х2 (k-1), х3 (k-1).





Download 480 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish