|
dr=r(t+dt)-r(t)=r0(R(t+dt)-R(t))=r0dR.
Bu yerda dR-masshtabni dt vaqt ichida o‘zgarishi. Agar endi orttirmalarni dt ga
bo‘lsak va r = hisobga olsak
r (t)
dr dR r (t) dR r
— = yoki u = ; (1)
dt dt R (t) dt R
Tezlik (u) uchun topilgan bu formulani Xabbl formulasi bilan solishtirsak
1 dR
h = ekanligini topamiz. Ya’ni har bir vaqt momentida Xabbl doimiy (N)si
R dt
koinotning barcha kuzatilayotgan nuqtalarida bir xil. t-kosmologik vaqt deb
9
ataladi. Koinot modelini tuzish R(t) ni har xil kosmologik vaqt momentlari uchun qiymatini topish demakdir. Bu masalani yechish uchun biror vaqt momentida barcha nuqtalari va yo‘nalishlarida Koinotning xossalari va R(t) bir xil deb faraz qilinadi. Bu Koinotning bir jinsli va izotropligini ifodalaydi.
Kritik zichlik
Koinotning kengayishi xususiyati unda o‘rtacha modda zichligiga bog‘liq va p zichlikdagi bir jinsli bulut ichidagi m massali uning markazidan r masofada joylashgan sinov zarraga ta’sir etayotgan kuchlarni ko’rib chiqaylik. Zarraga ta’sir etayotgan tortishish kuchi, r radiusli sfera ichidagi massa
4
1T^ = — nr 2 p (3)
3
ga bog‘liq. Faraz qilaylik zarra и tezlik bilan harakat qilmoqda va r0 uzoqlikda u
2
m и
U0 tezlikka ega bo‘lgan harakat davomida zarraning kinetik Ek= va potensial
2
G M m .
Ep= energiyasi yig indisi bo lgan to la energiya o zgarmaydi, va bir birlik
r
massa uchun
1 2 E и GM и „ GM
— = — = — =const
m 2 r 2
yoki
? 2 GM
U + 2 E (4)
Agar ^ o‘rniga uning yuqoridagi ifodasini qo‘ysak
2
( dr Л 8 nG 2
| — | = pr 2 + 2 E (5)
^ dt ) 3
r
10
Agar Ek>Ep bo‘lsa zarra bulutni tark etadi va undan cheksiz uzoqqacha
uzoqlashadi. Aks holda agar E<0 bo‘lsa r = uzoqlikda zarraning tezligi
m E
nolga teng bo‘ladi.
Koinotda barcha nuqtalar bir xil maqomga ega va u biror ajratilgan
markazga ega emas. Biz galaktikalarning uzoqlashish tezligini bizning Galaktikaga
nisbatan o‘lchaganmiz va Xabbl doimisi N ni ularga asoslanib topganmiz. Shuning
uchun Galaktika atrofida r - radiusli sferik sirtlar bor deb faraz qilamiz va bizdan r
masofadagi “sinov zarrachasi”- galaktikani harakati qanday bo‘lishini
ko‘rmoqchimiz. Xabbl qonuniga asosan bu galaktika bizdan u=Hr tezlik bilan
uzoqlashmoqda. Agar yuqoridagi (5) formulaga tezlik o‘rniga uning bu ifodasini
qo‘ysak quyidagi munosabatni olamiz.
8 kG ( 3 H 2
- p\ r2 = 2E . (6)
3 ^8kG )
Bu yerda p - r radiusli sfera ichida o‘rtacha modda zichligi, u sfera ichidagi galaktikalar va ular orasidagi tarqoq modda massalari yig‘indisini sfera hajmiga bo‘lish natijasida topilgan. (6) formulani chap tomonidagi qavs ichida zichliklar
3 Н 2
ayirmasi keltirilgan va p кр = , bu yerda kritik zichlik deb ataladi.
8kG / \r2 /_ч
(p., - p) = 2E (7)
3 р
Agar r radiusli sfera ichida o‘rtacha modda zichligi kritik zichlikdan kichik (p < p) bo‘lsa u holda to‘la energiya E >0 bo‘ladi va galaktika (zarra)ni harakati cheklanmagan ozod holda davom etaveradi va u cheksizlikkacha uzoqlashishi mumkin. Agar p > p bo‘lsa E < 0, ya’ni to‘la energiya manfiy va galaktika
(zarra) maksimal r = masofagacha uzoqlashgandan keyin u to‘xtaydi va
m E
keyin massa markazi tomon harakat qila boshlaydi.
11
I.4 Kosmologik modellar
Koinotning kengayish sur’ati unda o‘rtacha modda zichligiga (p ) to‘g‘rirog‘i o‘rtacha zichlik bilan kritik zichlik (p) ayirmasiga demak to‘la energiya (E) ga bog‘liq. (4) formuladan ko‘rish mumkin tortishish maydonida to‘la energiya har bir vaqt momentida moduli bo‘yicha o‘zgarmas qiymatga ega bo‘lishi kerak. Hozirgi kunda Xabbl qonuniga asosan galaktikalarni qochish tezligi Vo=Nro va N=73 km/s*Mpk - o‘zgarmas qiymat. Bunday tezlikdagi birlik massaning energiyasi masofaning (ro) kvadratiga proporsional bo‘ladi va bu energiya to‘la energiyadir. Koinot kengaygan sari u orta boshlaydi, u hozirgi kunda manfiy qiymatga ega.
Demak E o‘rniga —— ni qo‘yishimiz mumkin. Bu yerda K koinotni kengayishi
2
sur’ati belgilovchi miqdor. U holda
2
P
3 ( 1 dR V 3 K 1
(8)
8nG
V R dt j
8nG R 2
(dR I 8 nG 2 /ол
I —I = K 2 p - K (9)
V dt j 3
Bu tenglama kengayayotgan gravitatsion maydonda masshtab faktori (R(t))
ni o‘zgarishini ifodalaydi. U bu holda umumiy analitik yechimga ega emas. Chunki
K masshtab faktoriga bog‘liq va u bir birlik massaga ega elementar hajmning
mexanik energiyasini ifodalaydi. Biroq (8) ni xususiy yechimlari mavjud. Masalan
K=0 bo‘lganda (8)
2
( dR I 8 nG
v dt j
R 2P(t) (10)
shaklga keladi va p (t) = p(t0) ligini hisobga olsak (8) aniq
R 3( t)
R
(t) = \l 6nG p (t o) t 23 (11)
12
yechimga ega. Bu yerda p(to)-hozirgi paytda koinotning o‘rtacha zichligi. Bu yechimga ko‘ra koinotning kengayishi cheksiz davom etaveradi. Bunday jarayonni ifodalovchi model Eynshteyn-de Sitter modeli deb ataladi va unga ko‘ra fazo ochiq evklid fazosidan iborat. Agar K > 0 bo‘lsa koinotning yopiq modeli olinadi. Yopiq modelga ko‘ra hozirgi paytda kengayayotgan koinot ma’lum vaqtda maksimal kengayishga yetgach kengayish to‘xtaydi va teskari jarayon, siqilish boshlanadi. Bunday model pulsatsiyalanuvchi koinotni ifodalaydi.
Agar K < 0 bo‘lsa kengayish tezlashmoqda va cheksiz davom etadi. Bu model ochiq egrilangan fazoga mos keladi. Fazoning egriligi manfiy.
Yuqoridagi (7) va (8) tenglamalarni chiqarishda biz tortish maydonida harakat qilayotgan birlik massaning to‘la energiyasi, kinetik va potensial energiyalari yig‘indisi, o‘zgarmas qiymatga ega bo‘lish kerak degan farazga asoslandik va shu to‘la energiyani uch xil bo‘lishi mumkin hollarini ko‘rib chiqdik. Birlik massaga boshlang‘ich impuls berilgan va u tortish kuchi ta’sirida harakat qilmoqda.
Boshlang‘ich impuls qisqa vaqt davomida ta’sir etgan (jismni yuqoriga otgandagidek) kuch natijasini (biz yuqorida shunday holni ko‘dik) yoki u uzoq, hatto hozirgacha, vaqt davomida birlik massaga berilganmi, tortish kuchi faqat gravitatsiya kuchimi yoki boshqa tabiatga ega tortish kuchi ham bormi kabi savollar har xil modellar tuzishga asos bo‘ldi.
Bu modellar (7) tenglamani o‘ng tomoniga yana bir had qo‘shish yo‘li bilan tuzildi. Bunda to‘la mexanik energiya yuqorida qabul qilganimizdek- Kr o2
ko‘rinishda olinadi, qo‘shilgan had esa Л-r2 ko‘rinishda qabul qilinadi va u masofa (r) o‘zgarishi bilan ortib boradi. (7) dan
8kG 2 2^2 3Н 2
(p., - p) = - Kr 0 +~Л r ; p., =
3 3 8kG
ni va (2) ni hisobga olsak
13
2 2 3 f 1 dR Л 3 K f ra ^ Л 3
8 nG у R dt j 8 nG V r ) 3 8 nG
f dR Л
dt
8nG
-R p - K + ЛR
(12)
2
3
v
j
Bu tenglamani umumiy holda analitik yechimini olib bo‘lmaydi va har xil hollarda masshtab faktorini vaqt bo‘yicha o‘zgarishi grafigini hisoblash yo‘li bilan topish mumkin. Koinot xususiyatlarni tushuntirish maqsadida bir necha hollar ko‘rib chiqilgan.
0 it
Do'stlaringiz bilan baham: | 
