Пример. Доказать, что справедливо равенство. Доказательство

Пример . Доказать, что справедливо равенство .
Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :
.
Дифференцируя данное равенство, получим:
.
С другой стороны . Получаем равенство, справедливое при всех значениях :
.
При получаем доказываемое равенство:
.
Пример Доказать равенство
.
Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :
.
Обе части равенства представляют собой многочлены от , поэтому .
Первообразная функции равна , где произвольная постоянная.
Первообразная функции, стоящей в правой части разложения бинома, равна , где произвольная постоянная.
Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
. (*)

. (**)
Сравнивая правые части в (8) и (**), убеждаемся в справедливости доказываемого равенства.
Пример. Найти 8-й член разложения бинома .
Решение.
.
Пример. В разложения бинома найти член, не зависящий от .
Решение. Используя формулу общего члена разложения, получим
.
Для того, чтобы член не зависел от требуется, чтобы показатель степени у равнялся 0, т.е. . Последнее равенство возможно только при . Следовательно, не зависит от и .
Пример. Найти наибольший член разложения .
Решение. Рассмотрим отношение к . В данном случае поскольку непосредственно используется номер члена разложения. Тогда .
Если , то , а если , . Так как при (члены возрастают), а при (члены убывают), то наибольший член .

Задачи для решения

1. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что степень бинома равна 9. (Ответ. ).
2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего члена равен 45. (Ответ. )
3. Найти член разложения , не содержащий . (Ответ. ).
4. Найти член разложения , содержащий . (Ответ. ).
5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).
6. При каких положительных значениях наибольшим слагаемым в разложении является шестой член разложения? (Ответ. ).
7. Найти члены разложения, не содержащие иррациональности в разложении . (Ответ. .)
8. Сколько рациональных членов содержится в разложении . (Ответ. .)
9. Найти 5-й член разложения бинома , если известно, что биномиальный коэффициент его четвертого члена относится к биномиальному коэффициенту его третьего члена, как . (Ответ. .)
Решить уравнения:
10. ( ). 11. ( ).
Решить неравенства:
12. ( ).
13. ( ).
10 (для учащихся 11-го класса). Доказать, что справедливо равенство .
11 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство
.

Задачи домашнего задания

1. Найти сумму биномиальных коэффициентов четных членов разложения, если известно, что степень бинома равна 11. (Ответ. ).
2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45. (Ответ. )
3. Найти номер члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).
4. Найти биномиальный коэффициент члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).
5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).
6. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).
Решить уравнения:
7. ( ). 8. .
Решить неравенства:
9. ( ). 10. ().
10 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство
.