Применение линейной алгебры в экономике

Применение линейной алгебры при решении экономических задач

Введение

• Математика интенсивно проникает в другие науки: во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности законов окружающего нас мира.
• Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует методы, разработанные в XX в. Л.В. Канторовичем, В.В. Леонтьевым, Е.Е. Слуцким. В это же время интенсивно развивался и математический аппарат, применяемый в экономике.

Многие из Вас знают, что такое матрица, но не знают, как применять матричный метод при решении экономических задач.

• Многие из Вас знают, что такое матрица, но не знают, как применять матричный метод при решении экономических задач.
• Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Некоторые экономические зависимости удобно записывать в виде матриц.
• Также существует ряд экономических задач, приводящих к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья.
• На основе алгебры матриц и аппарате матричного анализа американский экономист В.В. Леонтьев создал математическую модель, которая решает проблему баланса между отдельными отраслями мирового хозяйства.
• Таким образом, применение элементов линейной алгебры в значительной степени упрощает способы решения многих задач экономики.

Приведем несколько примеров

Задача 1

Таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики:

Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

А=

В этой записи, например, элемент =5,3 показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент =2,1 – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

•  

Задача 2.

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия

Решение. По данным таблицы составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:
= (20, 50, 30, 40) — вектор ассортимента;
= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья;
= (10, 5, 15, 8) — вектор затрат рабочего времени;
= (30, 15, 45, 20) — вектор стоимости.
Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие произведения вектора ассортимента на три других вектора, т. е.
S = = 20•5 + 50• 2 + 30•4 + 40•4 = 100 + 100 + 210 +160 = 570 кг -расход сырья;
T = = 20•10 + 50•5 + 30•15 + 40•8 = 1220 ч - затраты рабочего времени
Р = = 20•30 + 50•15 + 30•45 + 40•20 = 3500 ден.ед.- стоимость выпускаемой продукции предприятия

Задача 3.

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S1,S2,S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение.
Пусть ежедневно фабрика выпускает х1 пар сапог, х2 пар кроссовок и х3 пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:
Решим данную систему методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу данной системы и преобразуем ее.
Теперь найдем переменные обратным ходом метода Гаусса
Ответ: обувная фабрика ежедневно выпускает 200 пар сапог, 300 – кроссовок и 200 пар ботинок.

заключение

• Приведенные нами только самые основные задачи показывают, что знание элементов линейной алгебры, умение оперировать с матрицами и обратными матрицами, умение решать системы линейных уравнений позволяют решать реальные экономические задачи. Можно с уверенностью сказать, что применение математических методов в экономике, оправдает те надежды, которые на них возлагаются, вносит существенный вклад в экономическую теорию и хозяйственную практику.

Изучение математики и ее методов в экономике, составляющих основу современной экономики, позволяет не только значительно упростить способы решения многих экономических задач, но и приобрести необходимые навыки для этого, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру.

• Изучение математики и ее методов в экономике, составляющих основу современной экономики, позволяет не только значительно упростить способы решения многих экономических задач, но и приобрести необходимые навыки для этого, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру.