Приложения к бизнесу и экономике

(а) Единая норма денежного потока (b) переменная скорость
долларов в год. потока долларов в год
Рисунок 3.9.
Предположим, что - это курс в долларах за единицу времени для непрерывного денежного потока. Фигуре 3.9 выше показана равномерная скорость денежного потока долларов в год слева и переменная скорость денежного потока долларов в год вправо.
Общий доход в долларах в первом случае можно легко подсчитать, и он представляет собой просто прямоугольную область долларов. В последнем случае легко понять, что площадь под кривой f из к - общий доход, значение которого в долларах определяется определенным интегралом
Теорема 3.14. Общий доход денежного потока.
Предположим, что - это курс в долларах за единицу времени для непрерывного денежного потока. Тогда общий доход I за период времени является

Примечание: Приведенный выше расчет не рассчитывает накопленные проценты, а только общий доход.
Пример 3.15. Общий доход.
Предположим, что доход небольшой кофейни будет расти в геометрической прогрессии. Уровень дохода при первом открытии магазина составлял 5000 долларов в месяц, а ко второму месяцу этот показатель вырос до 6000 долларов в месяц. Каков ожидаемый общий доход от кофейни в течение первых 6 месяцев работы?
Давайте теперь разработаем формулы для текущей стоимости и будущей стоимости непрерывного денежного потока. Мы начинаем с суммирования настоящей и будущей стоимости денег, на которые начисляются непрерывно начисляемые проценты r с течением времени t без внесения непрерывных вкладов или платежей. Предположим, что F количество денег в момент T который накапливает проценты, постоянно начисляемые по ставке r через некоторое время t, тогда рост инвестиции или кредита за счет накопленных процентов, полученных с течением времени, описывается дифференциальным уравнением

В главе 5 дифференциальные будут обсуждаться более подробно, но пока мы просто представляем решение этого дифференциального уравнения, и поэтому будущее значение описывается следующим образом:

Где P начальная сумма. Точно так же, если мы хотим получить количество F долларов, на которые начисляются проценты, непрерывно начисляемые по годовой ставке r над t лет, то сумма денег, которую необходимо внести сегодня, а именно текущая стоимость P, дан кем-то.

Теперь текущая стоимость P непрерывного денежного потока должна быть сумма денег, которая будет накапливаться до той же будущей стоимости, что и непрерывные деньги, при депонировании с той же процентной ставкой, непрерывно усугубляемой в течение того же периода времени, но без непрерывного потока доходов. Позволять представляют собой скорость непрерывного денежного потока и r процентная ставка для T лет. Как обычно, разбиваем интервал в n подынтервалы одинаковой ширины с конечными точками, как показано ниже.
f(t)




t
Используя наш результат о непрерывном начислении процентов, приведенная стоимость денежного потока через i-й подинтервал примерно

Таким образом, общая приведенная стоимость приблизительно равна типичной сумме Римана.

Принимая предел получаем следующий определенный интеграл

Мы фиксируем наш результат в следующей теореме.