Презентация по Математическому Анализу Семинар 36

“Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка”

• Сделала: Н.Ахмаджонова

Введение

• В работе рассматриваются понятия простейших дифференциальных уравнений, а также линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка и систем таких уравнений. Особое внимание уделяется изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных уравнений.

• Однородное уравнение.

• Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеют вид

• y’’+py’+qy=0 (1).

• Если - корни характеристического уравнения (2), то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:

• 2)

• 1)

• 3)

• , если

• , если

• , если

• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка

• Неоднородное уравнение

• Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
• можно записать в виде суммы , где - общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).

• y’’+py’+qy=f(x) (3)

• Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

• 1.

• , где - многочлен степени n.

• Если , то полагают

• где

• - многочлены степени

• N=max{n,m}.

• Если же то полагают

• где

• - многочлены степени

• N=max{n,m},

• r – кратность корней (для уравнений 2-го порядка r=1).

• В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации произвольных постоянных.

• Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

• Метод вариации для уравнения второго порядка заключается в следующем.

• y’’+py’+qy=f(x)

• Пусть известна фундаментальная система решений .

• Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде:

• где функции

• определяются из системы уравнений

• Решение этой системы находим по формулам:

• в силу чего y(x) можно сразу определить по формуле:

• здесь - вронскиан решений

• Примеры с решениями.

• Найти общее решение уравнения

• y’’-5y’+6y=0

• Решение.

• Составим характеристическое уравнение

• его корни

• Следовательно,

• - частные линейно независимые решения,

• а общее решение имеет вид:

• Решить уравнение

• Решение.

• Характеристическое уравнение

• имеет корни

• , а поэтому общее решение однородного уравнения

• Частное решение следует искать в виде:

• (в данном случае так как корня 0 у характеристического уравнения нет , то имеем:

• m=n=2 и r=0,

• Решая систему уравнений:

• Следовательно, общее решение исходного уравнения:

• Решить уравнение

• Решение.

• Характеристическое уравнение

• имеет корни

• а поэтому

• общее решение однородного уравнения:

• Пользуясь принципом наложения, частное решение исходного уравнения следует искать в виде:

• (имеем для поскольку такого корня нет,

• то

• для

• Решая систему уравнений:

• Следовательно, общее решение исходного уравнения:

• Итак,

Заключение

• В заключении этого тему укажем некоторые часто встречающиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.
• где , иначе уравнение уже линейное. Введём новую неизвестную функцию тогда уравнение перейдёт в линейное уравнение
• общее решение которого даётся формулой .

Список литературы

• Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1984. - 175 с.
• Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука,1970.-576 с.
• Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука,1983.
• Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А.. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высш. Шк., 1989.-383 с.
• Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.:Гостехиздат,1959.
• Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985.-230 с.