Преобразование Фурье в цифровой информации

Самостоятельная работа № 1

По Программированию и алгоритмов

Тема: Преобразование Фурье в цифровой информации
обработки сигналов

Введение
Частотный анализ является одним из наиболее популярных методов в обработке сигналов. Это инструмент для декомпозиции сигнала для дальнейшей фильтрации, которая фактически является разделением компонентов сигнала друг от друга.
Хотя процесс пересечения границы между этими двумя мирами (временной и частотной областями) можно рассматривать как продвинутый случай, это стоит сделать, так как этот другой мир дает нам новые возможности и упрощает многие вопросы.
В статье представлена реализация различных вариантов вычисления дискретного преобразования Фурье, начиная с определения преобразования Фурье по приведенному алгоритму вычисления и заканчивая методом быстрого преобразования Фурье Кули-Тьюки.
Кроме того, в нем представлена важность простейших операций, выполняемых над спектром сигнала, и их влияние на временную область.

Сигналы
Сигнал может быть определен как изменчивость любой физической величины, которая может быть описана как функция одного или нескольких аргументов. В этой статье нас будут интересовать одномерные функции времени.
В реальном мире функции времени, которые могут быть выполнены, помещаются в непрерывную область. Однако развитие информатики привело к тому, что аналоговая обработка сигналов стала редкостью. Гораздо выгоднее создавать, внедрять и тестировать алгоритмы обработки сигналов в цифровом мире, чем проектировать и разрабатывать аналоговые (электронные) устройства
.
От непрерывной к дискретной области
Для получения цифрового представления аналогового сигнала его необходимо перевести в дискретно-временную область и квантовать.

Теорема выборки Найквиста-Шеннона является связующим звеном между сигналами непрерывного и дискретного времени. Эта теорема может быть также известна как теорема выборки Уиттакера-Найквиста-Котиельникова-Шеннона – выбор имен авторов в зависимости от страны, в которой мы говорим об этом вопросе. Чтобы быть выше этого, мы будем называть это просто теоремой выборки.

Теорема дискретизации отвечает на вопрос о том, как дискретизировать сигнал непрерывного времени для получения сигнала дискретного времени, из которого можно восстановить исходный (непрерывный) сигнал. Согласно этому утверждению, чтобы получить правильно дискретизированный сигнал дискретного времени, частота дискретизации должна быть как минимум в два раза выше самой высокой частоты, которая может наблюдаться в исходном сигнале.