Практикум по дисциплине «теория автоматического управления» для студентов направлений 550200, 651900 «Автоматизация и управление»

Лабораторная работа №19

Моделирование дискретных аналогов
непрерывных типовых звеньев

Поведение любого дискретного элемента системы описывается разностным уравнением
(19.1)
где x(k) – входной дискретный сигнал;
y(k) – выходной дискретный сигнал.
Это разностное уравнение представляет собой внешнюю модель дискретного элемента или модель типа «вход–выход».
Для упрощения аналитической работы с разностными моделями дискретных элементов введено понятие оператора сдвига. Оператор R сдвига вперед определяется соотношением
. (19.2)
Инверсией оператора сдвига вперед является оператор R^-1 сдвига назад:
. (19.3)
Оператор сдвига вперед является дискретным аналогом непрерывного оператора дифференцирования Коши. По аналогии с использованием оператора D для получения операторной передаточной функции непрерывной системы, для дискретных систем используют оператор R, получая представление модели «вход–выход» в виде дискретной операторной передаточной функции W(R).
. (19.4)
Вид дискретной операторной передаточной функции зависит от выбранного алгоритма дискретизации. Различие вычислительных алгоритмов обусловлено применением различных геометрических интерпретаций производной и первообразной в методах численного интегрирования и дифференцирования. Дискретизация на основе метода численного интегрирования основана на замене операции интегрирования суммированием. Графическая интерпретация метода представлена на рис.19.1,а.

Рис.19.1. Дискретное интегрирование и дифференцирование.
Метод прямых разностей или метод Эйлера основан на разностном уравнении, связывающем входной и выходной сигналы дискретной модели интегратора
. (19.5)
Применяя оператор обратного сдвига R^-1, получим
.
Дискретная передаточная функция интегратора имеет вид
. (19.6)
Для метода прямоугольников с упреждением, или метода обратных разностей уравнение имеет вид
. (19.7)
Применяя оператор обратного сдвига R^-1, получим дискретную передаточную функцию интегратора с упреждением
. (19.8)
Модель дискретного дифференциатора методом прямых разностей можно получить, используя разностное уравнение
.
Графическая интерпретация дискретного дифференцирования представлена на рис.19.1,б. Применяя к уравнению оператор прямого сдвига R, получим
. (19.9)
Передаточная функция дискретного дифференциатора имеет вид
,
или, переходя к оператору обратной разности
. (19.10)
Для метода прямоугольников с упреждением, или метода обратных разностей, разностное уравнение дискретного дифференциатора имеет вид
. (19.11)
Применяя оператор обратного сдвига R^-1, получим дискретную передаточную функцию дифференциатора с упреждением
. (19.12)
Для моделирования дискретной системы применяют модель соответствующей непрерывно–дискретной импульсной системы. Соответствие заключается в замене оператора R^-1 сдвига назад звеном запаздывания с передаточной функцией W(p) = e^-hp. Импульсная модуляция входного сигнала осуществляется АИМ, восстановление выходного сигнала – фиксатором нулевого порядка.