Практикум j практическое примщенше численных методов

h = (b - а) / n А = np.zeros((n,n), ’float’) r = np.zeros((n), ’float’) for i in range(n):
x = a + h / 2. +i*h
r [i] = f(x)
for j in range(n):
s = a + h / 2. + j*h A[i,j] = k(x,s)*h # Symmetrization В = np.copy(A) rr = np.copy(r) for i in range(n):
r[i] = np.dot(B[i,0:n] , rr[0:n]) for j in range(n):
A [i, j ] = np. dot (B [i, 0: n] , В [0: n, j ]) y, iter = cg(A, r, tol = tol) return y, iter
Точное решение интегрального уравнения





есть





Для его приближенного решения используется следующая программа.
import numpy as np import matplotlib.pyplot as pit from fredholml import fredholml def k(x,s):
return abs(x-s) def f(x):
return x**2 a = -1. b = 1. n = 100
h = (b - a) / n
x = np.1inspace(a+h/2., b-h/2., n) erList = [1.0e-3, 1.0e-5, 1.0e-10] sglist = , ’:’]
for kk in range(len(erList)): er = erList[kk]
у, iter = fredholml(к, f, a, b, n, tol = ег) print ’iteration = ’, iter, ’tolerance =’, er si = ’tolerance =’ + str(er) sg = sglist[kk] pit.plot(x, y, sg, label=sl) j)lt. xlabel (’ $x$ ’) plt.ylim(-2, 3) pit.grid(True) pit.legend(loc=8) pit. showO
i
. ■== 3 tolerance ли 0 001; : ~ 21 t o le г k п с е — 1 е -05 — 99 tplerance ~ 1е—ГО


;г


Рис. 11.2 Приближенное решение при различной точности решения системы уравнений


teration ■iteration iteration
Приближенное решение при различном уровне точности итерационного реше­ния системы линейных уравнений представлено на рис. 11.2. Некорректность задачи проявляется в нарастании погрешности приближенного решения вбли­зи концов интервала при увеличении точности решения системы уравнений.

4. 
   Задачи
   

Задача 11.1 Напишите программу для численного решения интегралг го уравнения Фредгольма второго рода методом квадратур с использова ем квадратурной формулы Симпсона при равномерном разбиении интерв интегрирования. Используйте эту программу для приблиоюенного реше интегрального уравнения





Исследуйте зависимость точности численного решения от числа част ных отрезков.
Задача 11.2 Напишите программу для численного решения интегральп уравнения Фредгольма второго рода методом Галеркина при использова1 кусочно линейных координатных функций
ipi(x)^0, Хг-х<Х<Хг₊₁, i = 1, 2, П
и равномерного разбиения интервала интегрирования. С помощью этой т\ граммы найдите приблиэюенное решение интегрального уравнения