Практикум j практическое примщенше численных методов

Q(_£) = f>.
k= 1
Применительно к двухслойному итерационному методу (5.2) минимизация Q(e) может достигаться за счет выбора операторов В_к и итерационных пара- метров т_к+1. Обычно матрицы В_к (иереобуславливатели) задаются из каких- либо соображений близости к матрице А, а оптимизация итерационного ме­тода (5.2) осуществляется за счет выбора итерационных параметров.

2. 
   Итерационные алгоритмы решения систем линейных уравнений
   

Рассматриваются традиционные итерационные методы решения систем ли­нейных уравнений — метод Якоби и метод Зейделя. Приведены основные ре­зультаты о скорости сходимости итерационных методов при решении задач с вещественной симметричной положительно определенной матрицей. Приво­дится оптимальный выбор постоянных и переменных итерационных парамет­ров. Второй класс итерационных методов связан с определением итерацион­ных параметров на каждом итерационном шаге из минимума функционалов для невязки — итерационные методы вариационного типа.
Классические итерационные методы
В итерационном методе Якоби новое приближение на к + 1-й итерации опре­деляется из условий

Численные 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 3
Содержание 5
Программное обеспечение 9
Элементы языка 21
| ’G \\Vab\\Python\\Testl \\src ’ , ’C-\\Program Files \\ ■/ NetBeans 6 7\\python! ’ , ’С Д \ Windows\\system32\\ python26 zip ’ , ’C^YPytho^G^DLLs’ , /С \\Python26\\lib ’ , 39
Математический Python 44
I 3 .4.II. ■ 61
И 0 ] 61
vs = Е 104
= np.zeros((m), ’float’) for i in range(0, m): 115
Прямые методы линейной алгебры 160
Итерационные методы линейной алгебры 173
ъВ <А< 7₂в, Ъ > 0, (5.16) 179
Спектральные задачи линейной алгебры 185
Шп ^{уШ’^ук) = 1. 187
1||Й7б2ШШ&Ш 191
Нелинейные уравнения и системы 197
Задачи минимизации функций 206
/V) 207
Интерполирование и приближение функций 217
Численное интегрирование 228
Интегральные уравнения 239
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 252
= ^(/(Wi,r⁺¹) + /(*»,»”)). п = 0,1,... 253
-£ ^{= у}*' 1Г = И¹о < i < 100, 263
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 265
М*)] = о, 266

Тем самым следующее приближение для отдельной компоненты вектора определяется из соответствующего уравнения системы, когда все другие ком­поненты берутся с предыдущей итерации.
Метод Зейделя основан на том, что найденное приближение для компонент вектора сразу же задействуются в вычислениях:

Численные 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 3
Содержание 5
Программное обеспечение 9
Элементы языка 21
| ’G \\Vab\\Python\\Testl \\src ’ , ’C-\\Program Files \\ ■/ NetBeans 6 7\\python! ’ , ’С Д \ Windows\\system32\\ python26 zip ’ , ’C^YPytho^G^DLLs’ , /С \\Python26\\lib ’ , 39
Математический Python 44
I 3 .4.II. ■ 61
И 0 ] 61
vs = Е 104
= np.zeros((m), ’float’) for i in range(0, m): 115
Прямые методы линейной алгебры 160
Итерационные методы линейной алгебры 173
ъВ <А< 7₂в, Ъ > 0, (5.16) 179
Спектральные задачи линейной алгебры 185
Шп ^{уШ’^ук) = 1. 187
1||Й7б2ШШ&Ш 191
Нелинейные уравнения и системы 197
Задачи минимизации функций 206
/V) 207
Интерполирование и приближение функций 217
Численное интегрирование 228
Интегральные уравнения 239
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 252
= ^(/(Wi,r⁺¹) + /(*»,»”)). п = 0,1,... 253
-£ ^{= у}*' 1Г = И¹о < i < 100, 263
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 265
М*)] = о, 266

Для записи итерационных методов (5.5), (5.6) используется следующее раз­ложение матрицы А:
Здесь D = diag{an, а₂2,. •., а_пп} — диагональная часть матрицы Л, a L и U — нижняя и верхняя треугольные матрицы с нулевыми элементами на главной диагонали, т.е.

	- 0	0	0	... 0 '
	a2i	0	0	... 0
L =	^31	^32	0	... 0
	- &nl