Построение эпюры изгибающих моментов трехшарнирной

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»
Институт строительства и архитектуры имени В.А. Шумилова Кафедра «Промышленное и гражданское строительство»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

по дисциплине «Строительная механика»
на тему «Построение эпюры изгибающих моментов трехшарнирной арки
матричным способом» Вариант 404
Выполнил А.М.Т. Мухаммад
студент гр. Б20-501-2

Проверил
к.т.н., доцент И.А. Пушкарев

Ижевск 2022

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ

Вариант 404

Цель работы: построить эпюру изгибающих моментов трехшарнирной арки матричным способом.

Исходные данные

Трехшарнирная арка с параболическим очертанием оси: Стрела подъема арки f = 3 м.
Количество участков n = 8 длиной d = 2,1 м.


_{у } 4 f
_l 2
x(l  x) .

Внешняя нагрузка: P₃ = 2,6 кН, P₅ = 3,8 кН, Р₇ = 1,4 кН.

Рис. 1. Исходная схема балки с заданной нагрузкой

Ход работы

1. 
   Вектор внешней нагрузки:
   

P₁ P₂ P₃
P  P₄
P₅ P₆ P₇

0
0

2,6
 0
3,8
0
1,4

2. 
   Вычисляем ординаты у_i (рис.1), используя зависимость
   

_{у } 4 f
_l 2
x(l  x) :

y₁ = y₇ = 1,3; y₃ = y₅ = 2,8;
y₂ = y₆ = 2,25; y₄ = f = 3 м.

3. 
   Записываем вектор изгибающих моментов во всех внутренних пронумерованных сечениях арки от вертикальной заданной нагрузки в виде:
   

где
(1)

L_ma – матрица влияния изгибающих моментов в арке.
Вектор изгибающих моментов в тех же сечениях арки от самоуравновешенного базиса

Р* записываем в виде:

где
(2)

L

ma
^* – матрица влияния изгибающих моментов от самоуравновешенного базиса



m
P^*  1 .

Используя зависимость представить в виде:
P^*  L


j

 P , вектор изгибающих моментов в арке можно

где
(3)

L_m – матрица влияния изгибающих моментов для однопролетной балки того же пролета,

что и арка.

j
Матрица влияния изгибающих моментов от самоуравновешенного базиса


P^*  1

где соответствующие значения равны:

4. 
   Матрицу изгибающих моментов
   

L_m в балке построим, пользуясь натуральной

центробежной матрицей 7-го порядка (т.к. число участков n = 8, а порядок матрицы I на единицу меньше):


L_m  ^d I_{n 1}  ^d B  ^2,1 B  0.26В , (4)
n n 8
где d = 2,1 м – длина участка, n = 8 – количество участков (согласно исходным данным).

7. 
   Вектор изгибающих моментов в сечениях 1, 2, …, 7, согласно выражению (3) равен:
   

Результат вычилений получаем с помощью «Matrix calculator» https://matrixcalc.org/ru/

1. 
   Открываем программу «Matrix calculator» по ссылке: https://matrixcalc.org/ru/ (рис. 7.1):
   

Рис. 7.1. «Matrix calculator». Начальная страница

2. 
   Помещаем курсор в первую ячейку матрицы А и вводим значения матрицы А. Аналогично вводим значения матрицы В (рис. 7.2).
   

Рис. 7.2. Значения матрицы А

4. 
   Матрицу В необходимо умножить на дробь
   

L_m  ^d I₇  ^d B  ² B  0,26В , где

n n 8
d = 2 м – длина участка, n = 8 – количество участков. Для этого в ячейку под матрицей В, отмеченной красной стрелочкой, вводим значение 0,26, умножаем на кнопку «Умножить на». Получаем (рис. 7.3):

Рис. 7.3. Матрица В, умноженная на 0,26

4. 
   Заменяем матрицу В полученной матрицей, нажимая на кнопку «Вставить в В» (рис. 7.4):
   
5. 
   
   

Рис. 7.4. Матрица А и матрица В, умноженная на 0,26

4. 
   Перемножаем матрицы А и В, умножая на кнопку «А×В». Получаем (рис. 7.5):
   
5. 
   
   

Рис. 7.5. Результат умножения матриц А и В

4. 
   Заменяем матрицу А полученной матрицей, нажимая на кнопку «Вставить в А». Получаем (рис. 7.6):
   

Рис.7.7. Новая матрица А (результат А×В) и пустая матрица В

9. 
   Вводим вектор-столбец внешней нагрузки в матрицу В. Незаполненные столбцы оставляем пустыми! Получаем (рис 7.8)
   
10. 
    
    

Рис. 7.8. Новая матрица А (результат А×В) и вектор внешней нагрузки В

9. 
   Перемножаем матрицы А и В, умножая на кнопку «А×В». Получаем (рис. 7.11):
   

Рис. 7.10. Результат вычислений.

9. 
   Записываем ответ (результаты – в виде десятичных дробей):
   

7. 
   Строим окончательную эпюру изгибающих моментов в трехшарнирной арке:
   

Рис. 2. Окончательная эпюра изгибающих моментов в арке

Вывод: построена эпюра изгибающих моментов в трехшарнирной арке матричным способом с использованием натуральной центробежной матрицы 7-го порядка и программного комплекса «Matrix calculator».