Понятия матицы. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Вычисление определителя

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например:  ,  и т.д.
При этом справедливо следующее свойство: если произвольную матрицу  умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:

Как видите, здесь также имеет место коммутативность матричного умножения.
Возьмём какую-нибудь матрицу, ну, скажем, матрицу из предыдущей задачи:  .
Желающие могут провести проверку и убедиться, что:

Единичная матрица для матриц – это аналог числовой единицы для чисел, что особенно хорошо видно из только что рассмотренных примеров.
Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц
Для матриц  и действительного числа  справедливо следующее свойство:

То есть числовой множитель можно (и нужно) вынести вперёд, чтобы он «не мешал» умножить матрицы.
Примечание: вообще говоря, формулировка свойства неполная – «лямбду» можно разместить в любом месте между матрицами, хоть в конце. Правило остаётся справедливым, если перемножаются три либо бОльшее количество матриц.
Пример 4
Вычислить произведение

Решение:

(1) Согласно свойству  перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!
(2) – (3) Выполняем матричное умножение.
(4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на .
Окончательный ответ лучше оставить в виде  , хотя, в принципе, годится и внесение дроби:  . На технических тонкостях умножения матрицы на число я подробно останавливался на уроке Действия с матрицами.
Ответ: 
Маленькая шарада для самостоятельного решения:
Пример 5
Вычислить  , если
Решение и ответ в конце урока.
Какой технический приём важен в ходе решения подобных примеров? С числом разбираемся в последнюю очередь.
Прицепим к локомотиву ещё один вагон: