Понятия матицы. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Вычисление определителя

Как возвести матрицу в квадрат?
Операция определена только для квадратных матриц – «два на два», «три на три» и т.д.
Возвести квадратную матрицу  в квадрат – это значит, умножить её саму на себя:

Пример 3
Возвести в квадрат матрицу 
Решение: пример рутинный, и чтобы извлечь максимальную пользу, давайте закрепим очень распространённый случай умножения двух матриц «три на три»:

Строки первой матрицы – это столы в ресторане, а цветные столбцы второй матрицы – официанты. Сначала столы обслуживает красный официант, затем зелёный официант, и под конец застолья – синий официант. Тааак, хватит прикалываться, он не голубой =)
Это действительно удобный мысленный приём, который можно использовать на практике – последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы  и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.
Ответ: 
Возведение матрицы в куб и более высокие степени разберём позже.
Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице
Материал, по меньшей мере, частично вам знаком. Для тех, кто не знает термина:
Коммутативность = Перестановочность.
Обычные числа переставлять можно:  , а матрицы в общем случае не перестановочны:  . Собственно, подробная иллюстрация с конкретными примерами уже была дана в статье Действия с матрицами.
Рассмотрим некоторые исключения из правила, которые потребуются для выполнения практических задач.
Если у квадратной матрицы  существует обратная матрица  , то их умножение коммутативно: 
Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно вычислить произведение  либо произведение  и убедиться в том, что получится единичная матрица  . Конкретные примеры можно посмотреть в статье Как найти обратную матрицу?