Понятие вектора. Основные свойства векторов. Вектор

Определение.Два комплексных числа  и  , которые отличаются знаком у мнимой части, называют комплексно сопряженными числами.

Подчеркнем, что  .

Операцию деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, можно определить с помощью операции умножения. А именно, чтобы вычислить значение надо числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю:

 .

Пример.  .

Используя понятие модуля и аргумента комплексного числа можно записать:

 .

Эту форму записи называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

20. Действия над комплексными числами. Над комплексными числами можно совершать те же самые действия, что и с действительными их аналогами – сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение комплексных чисел происходит по принципу отдельного сложения действительных частей чисел и мнимых частей. Например:

(3+2i)+(2-5i)=(3+2)+(2i-5i)=5-3i

Вычитание комплексных чисел осуществляется аналогично сложению, за исключением того, что вычитаемое рекомендуется брать в скобки, чтобы правильно распределить знаки. Например:

(5-6i)-(7+2i)=(5-7)+(-6i-2i)=-2-8i

Умножение комплексных чисел происходит как умножение множителей в скобках, поэтапно прорабатывая действительные и мнимые части комплексного числа. При умножении комплексных чисел i² всегда трансформируется в -1. Например:

(2+i)(1-3i)=2×1+2×(-3i)+i×1+i×(-3i)=2-6i+i-3i²=2-5i-3(-1)=2-5i+3=5-5i

Деление комплексных чисел происходит в виде дроби. Здесь действует негласное правило, как и в случае с иррациональными числами, - не оставлять мнимую часть в знаменателе. Для этого нужно умножить и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное знаменателю выражение (такое же выражение, где знак перед мнимой частью заменен на противоположный). В этом случае используется формула сокращенного умножения «Разность квадратов», и мнимая часть в знаменателе уходит. Затем в выражении раскрываются скобки, i² трансформируется в -1 и приводятся подобные слагаемые. Упрощенная дробь будет результатом деления комплексных чисел друг на друга. Пример: 

21. Поверхности второго порядка. ПОВЕ́РХНОСТИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА, мно­же­ст­ва то­чек 3-мер­но­го про­стран­ст­ва, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат удов­ле­тво­ря­ют ал­геб­раи­че­ско­му урав­не­нию 2-й сте­пе­ни

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz++2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0.(*)(*)a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz++2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0.

 Это урав­не­ние мо­жет и не оп­ре­де­лять дей­ст­ви­тель­но­го гео­мет­рич. об­раза, но для со­хра­не­ния общ­но­сти в та­ких слу­ча­ях го­во­рят, что оно оп­ре­де­ля­ет мни­мую П. в. п. Су­ще­ст­ву­ет пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой урав­не­ние (*) при­во­дит­ся к од­но­му из сле­дую­щих ка­но­нич. ви­дов, ка­ж­до­му из ко­то­рых со­от­вет­ст­ву­ет оп­ре­де­лён­ный класс по­верх­но­сти вто­ро­го по­ряд­ка.

22. Уравнения плоскости и пространстве. Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х, ух, у и zz. Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости. Всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 , где А,В,С А,В,С и DD – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0  носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А,В,СА,В,С и DD конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение  λ⋅Ax+λ⋅By+λ⋅Cz+λ⋅D=0λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, будет точно так же определять плоскость. В уравнении λλ - это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 и λ⋅Ax+λ⋅By+λ⋅Cz+λ⋅D=0λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0 равнозначны.