Понятие о кривых второго порядка

. Упрощая выражение 7, получим каноническое уравнение параболы
= 2px (8)


Это парабола симметрична оси абсцисс (рис. 7). Если парабола симметрична относительно оси ординат (рис. 8), то её каноническое уравнении
= 2py (9)

При p > 0 направление ветвей параболы совпадает с положительным направлением сей координат, а при p < 0 - с отрицательным. Пример 2. Построить кривую: а) = 1 Найти ε и асимптоты. б) = -3y Найти директрису и фокус.
РЕШЕНИЕ:
а) a = 3, b = 4 = = 9 + 16 = 25, c = 5 ε = = 1 . y = ± y = ± x рис(9)

б = −3y - парабола, симметричная оси Oy, ветви направлены вниз (рис.10).Уравнение директрисы y = − .

2p = −3 p = − , y = x; F (0; ) F (0; − ).
т.к. сумма двух положительных чисел не может быть меньше нуля, то кривая мнимая (табл. 1). Это мнимый эллипс и геометрического изображения не имеет;
б + 4 = 0 x = ±2 - пара параллельных прямых (рис 10.1);
в) − 9 = 0 y = ±3 -пара параллельных прямых (рис. 11);
г) 3 + 9 = 0 - одна точка O(0;0) удовлетворяет уравнению;
д) 81 = 0 y = ±9x -пара пересекающихся прямых (рис. 12);
е) 3 = 0 = 0 - пара совпадающих прямых - ось Ox.

Уравнение кривых второго порядка
Впервые кривые второго порядка изучались Менехмом, учеником Евдокса. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы образованного ими угла, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур . Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, при достижении второй космической скорости — по параболе, а при скорости, большей второй космической, — по гиперболе. Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой.{\displaystyle F_{0}(x,\,y)=a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

{\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,}в котором по крайней мере один из коэффициентов {\displaystyle a_{11},~a_{12},~a_{22}}отличен от нуля. Таким образом кривая второго порядка является частным случаем алгебраической кривой. Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру - значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде 

1. 
   Если точка М(а,b) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,b) являются решениями уравнения 
   
2. 
   если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре .Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом .Уравнение  называется уравнением фигуры, если  , то есть (а, b ) - решение уравнения F(x,y) = 0.Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения  , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.
   

Возможны два вида задач:

1. 
   дано уравнение  и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является  ;
   
2. 
   дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.
   

Первая задача сводится к построению графика уравнения  и решается, чаще всего, методами математического анализа.
Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. 
   Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
   
2. 
   Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.
   

УПРОЩЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Исследование общего уравнения кривой второго порядка
Пусть в уравнении B=0, тогда A + C + 2Dx + 2Ey + F = 0
Если: 1) A ∗ B > 0; A = B - окружность, точка;
2) A ∗ B > 0; A 6 = B - эллипс, мнимый эллипс, точка;
3) A ∗ B < 0; - гипербола, пара пересекающихся прямых;
4) A ∗ B = 0; - парабола, пара параллельных прямых.
На практике уравнение вида 10 можно привести к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат. Правило упрощения кривой второго порядка (без произведения координат).
Рассмотрим уравнение:
1. Определим тип кривой, используя р.2.1.
2. О группируем члены, содержащие x и y.
3. Вынесем за скобки коэффициенты при и (если они есть).
4. Выделим в каждой скобке полный квадрат, добавляя и вычитая нулевую константу.
5. Свернём выражение в скобках по формуле
± 2ab + .
6. Перейдҷм к новой системе координат.
7. При необходимости разделим полученное равенство на константу, стоящую в правой части, и сравним с каноническим уравнением (табл. I) 8. Сделаем чертёж.
Пример 4. Привести к каноническому виду и построить график кривой, заданной уравнением 9 − 16 − 54x − 64y − 127 = 0.
РЕШЕНИЕ.
B = 0. Сравним с уравнением

10. 
    . A = 9, B = −16, A · B < 0. Следовательно, полученное уравнение есть гипербола или пара пересекающихся прямых. Приведём его к каноническому виду. Сгруппируем члены:
    

(9 − 54x) − (16 + 64y) − 127 = 0. Вынесем за скобки коэффициенты при и , выделяя одновременно в каждой скобке полные квадраты, для чего коэффициент при x или y делим на 2, возводим в квадрат, добавляем и вычитаем: 9[( − 6x + 9) − 9] − 16[( + 4y + 4) − 4] − 127 = 0;
9 − 81 − 16 + 64 − 127 = 0;
9 − 16 = 127 − 64 + 81;
9 − 16 = 144. Пере обозначим выражения в скобках (переход в новую систему координат): x − 3 = x, y + 2 = y.
В новой системе координат x = y = 0 и точка имеет координаты x = 3,
y = −2. (3; −2) - начало новой системы координат. Заменяем переменные и делим на 144:

Строим "старую" систему координат XOY и "новую" X Y с соответствующими параллельными осями. В новой системе координат строим гиперболу, сохраняя тот же масштаб, что и в "старой"(рис. 13).
УПРОЩЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ С ПРОИЗВЕДЕНИЕМ КООРДИНАТ
Рассмотрим общее уравнение кривой 1 в более удобном виде

Обозначения 2 , 2 , 2 введены вместо , , затем, чтобы формулы, с которыми придётся встретиться при преобразовании уравнения 11, имели более симметричный вид.
Выражение: Φ(x; y) = + 2 xy + (12)
называется квадратичной формой. Задача приведения к каноническому виду уравнения 11 сводится к задаче приведения к каноническому виду квадратичной формы 12. Для решения этой задачи оси координат нужно повернуть так, чтобы после приведения уравнения 12 к новым координатам, член с произведением текущих координат отсутствовал. Для этого нужно найти формулы преобразования

в силу которых квадратичная форма 12 привед¨ется к каноническому виду, т.е. будет иметь место равнество
Φ = + 2 xy + = + , (14)
где и - пока неизвестные числа. Коэффициенты , , должны удовлетворять следующим условиям:
+ = 1; + = 1; + · = 0
=