Поглощение света в полупроводниках

Собственное поглощение света

Оператор Гамильтона для электронов полупроводника, находящегося в световом поле, имеет вид

,

где - оператор энергии электрона в электромагнитном поле.

Под действием электромагнитного излучения могут происходить переходы электронов между стационарными состояниями в кристалле. Вероятность перехода можно получить, пользуясь теорией возмущений:

Где ψ_i(r,t) = ψ_1к1(r,t): – волновая функция электрона в валентной зоне с энергией E₁(к₁), ему соответствует волновая функция:

;

ψ_f(r,t) = ψ_2к2(r,t)– волновая функция электрона в зоне проводимости с энергией E₂(к₂) и волновой функцией:

Рассмотрим возмущение , индуцирующее переходы из одного состояния в другое. В качестве возмущения мы берем энергию электрона в поле световой волны, которую можно характеризовать напряженность E электрического поля и индукцией B магнитного поля.

Запишем уравнения Максвелла (в системе Гаусса) для случая, когда отсутствует сторонние поля и объемные заряды:

Вместо двух величин удобно ввести векторный потенциал A(r,t), который позволяет выразить через него E и B (в системе Гаусса):

Гамильтониан электрона в кристалле, находящемся в поле электромагнитной волны, в приближении эффективной массы имеет вид

Если ограничиться слабыми световыми потоками, которые можно получить от обычных источников света, то последний член, пропорциональный А², по сравнению с линейным членом можно отбросить. Учитывая, что векторный потенциал должен удовлетворять условию Лоренца:

divA = 0,

выделим оператор возмущения

где,

Чтобы вычислить вероятность перехода, необходимо задать возмущение . Пусть кристалл взаимодействует с линейно-поляризованной монохроматической электромагнитной волной, тогда векторный потенциал также представляет собой плоскую волну:

A(r,t) = A₀e^i(ωt-(gr))

Для оператора возмущения имеем

(2)

Вычислим матричный элемент перехода с помощью волновых функций Блоха ψ_1к1(r,t) и ψ_2к2(r,t):

Этот матричный элемент отличен от нуля только в том случае, когда к₁+g = к₂ или P₂ = P₁ + ћg,

т.е. при поглощении света должен выполняться закон сохранения квазиимпульса: квазиимпульса состояния равен векторной сумме квазиимпульса начального состояния и импульса фотона.
Если k₁ = 0, то k₂ = g. Но такие переходы невозможны, поскольку в этом случае (А₀к₂) = (А₀g) = 0(условие поперечности световой волны). Квазиимпульс электронов с тепловой энергией имеет . При T = 300К и m^* = 10^-27г имеем P ≈ 10^-20г∙см/сек и к ≈ 10⁷см^-1. Для света с длиной волны , что значительно меньше к для тепловых электронов. В таком случае, пренебрегая величиной ћg по сравнения с P₁, получим правила отбора P₂ = P₁; к₁ = к₂.
Переходы из валентной зоны в зону проводимости в соответствии с правилами отбора – с сохранением волнового вектора электрона – носят название прямых, или вертикальных. Электрон поглотив фотон, переходит из некоторой точки зоны Бриллюэна валентной зоны в эквивалентную точку зоны Бриллюэна зоны проводимости.
Матричный элемент оператора возмущения входит член . При вычислении вероятности перехода в единицу времени этот множитель дает δ-функцию

которая отражает факт выполнения закона сохранения энергии и при поглощении света:

Вероятность перехода электрона из единичного объема к₁-пространства в единичный объем к₂-пространства в единицу времени равна

Предполагая в дальнейшем, что закон сохранения энергии и квазиимпульса выполняются, мы можем опустить δ-функцию.

Выразим вероятность перехода электрона через число фотонов, проходящих через полупроводник. Для этого учтем, что средняя плотность световой энергии равна (мгновенная плотность равна ), поток энергии равен , где n-коэффициент преломления вещества и - скорость света в нем. Поток фотонов q найдем, если поток энергии разделим на энергию одного фотона:

Найдем связь между А₀ и E₀:

и

отсюда следует

Или

В итоге для вероятности перехода имеем

Переход электрона из одного состояния в другое возможен только в результате поглощения фотонов, поэтому есть вероятность поглощения фотонов. Так как она пропорциональна потоку фотонов q, то эффективное сечение поглощения однофотонного потока на одном электроне мы получим, разделив на поток фотонов q:

Оценим величину эффективного сечения поглощения однофотонного потока электроном, предположив, что m^*=10^-27г, ε≈16, n≈4, к₂≈10⁷см^-1 при ω≈10¹⁴сек^-1 и cos²Θ=1/3, получим σ_q=10^-26cм² Это значение соответствует площади поперечного сечения электрона в классической физике.

Если рассматривать вероятность, отнесенную к одному фотону, который образует поток , то

Перейдем к нахождению коэффициента поглощения α. В элементе объема имеется свободных и занятых состояний. В этом элементе объема имеется занятых и свободных состояний. Поскольку вероятность прямых и обратных переходов равны, то при вычислении коэффициента поглощения света необходимо учитывать как прямые, так и обратные переходы, вызванные светом. Спонтанными переходами (рекомбинационными переходами) мы будем при этом пренебрегать. За единицу времени будет поглощено фотонов

Первый член в этом выражении определяет число поглощенных фотонов, второй – излученных. В обычных условиях уровни энергии заняты электронами в соответствии с равновесным распределением их по состояниям:

т.е. валентная зона практически заполнена, а зона проводимости практически свободна, поэтому обратными переходами можно пренебречь. (Но если в полупроводнике создать инверсную заселенность уровней, то такой полупроводник будет усиливать излучение, а не поглощать.) Умножим на ћω, получим количество энергии, поглощаемой в единице объема в единицу времени:

Интегрируя с учетом , получим

Исключим зависимость α от E₁, E₂ и , учитывая, что величина эффективной массы m^*, входящая во все выражения, есть эффективная масса электрона в валентной зоне, или массы дырки. Выразим через ω:

При к₁ = к₂ имеем

Где

- приведенная эффективная масса электрона и дырки.

Независящий от времени матричный элемент перехода можно вычислить с помощью выражения



где

- матричный элемент перехода для импульса

Пользуясь тем, что при комнатных температурах в полупроводнике зона проводимости свободна, а валентная зона практически заполнена, можно утверждать, что число поглощенных фотонов в единицу времени на единицу площади равно числу переходов, следовательно, вероятность перехода:



Коэффициент поглощения дается выражением:

Так как мы интересуемся спектральной зависимостью коэффициента поглощения вблизи края собственного поглощения, то рассматриваем переходы между состояниями, находящимися вблизи экстремумов разрешенных зон. Матричный элемент перехода для импульса в этом случае можно представить в виде ряда:

Если , переход называется разрешенным. Ограничиваясь в этом случае первым членом ряда, получим

где - сумма значений для всех точек, соответствующих рассматриваемым экстремумам в зоне Бриллюэна.

Переходя к переменным интегрирования , получим


,
где мы положили . Вводя переменную интегрирования и используя δ-функцию, получим






Рис 1. Зонная схема вблизи экстремумов для прямозонного полупроводника
переход электрон поглощение свет
Рассмотрим, как α зависит от используемой модели зон. Если в полупроводнике экстремумы находятся в центре зоны Бриллюэна, то для скалярной эффективной массы имеем: ; . Так как вероятность перехода отлична от нуля в том случае, если выполняется закон сохранения энергии, то α можно выразить через N₁(E) и N₂(E₂) – функции плотности состояний дырки и электрона в валентной зоне и зоне проводимости соответственно:



И
Получим, что коэффициент поглощения является функцией

Согласно правилам отбора переходы могут быть, в дипольном приближении, разрешенными и запрещенными. Для запрещенных переходов, ряда будет равно нулю, поэтому разложение начинается со второго члена, что дает в результате зависимость:

Если , то α=0 – собственное поглощение имеет резкую границу со стороны малых частот. Граница собственного поглощения определяется (оптической) шириной запрещенной зоны для вертикальных переходов:
;

Если выразить ширину запрещенной зоны в эВ, то граница собственного поглощения можно вычислить из соотношения:

Выражение на α справедливо только при переходах в полупроводниках со сферическими поверхностями энергии и экстремумами, лежащими в центре зоны Бриллюэна.

Таким образом, прямые переходы должны давать зависимость α от в виде:
где r может принимать значения от ¹/₂ до ³/₂ при прямых 2 3 при не вертикальных переходах. Граница поглощения определяет оптическую ширину запрещенной зоны , которая превосходит минимальное расстояние между валентной зоны и зоны проводимости, определяющее термическое возбуждение электронов.
Поскольку существует состояния, разделенные энергетическими промежутками меньшими, чем , то возникает вопрос, возможно ли поглощение фотона с энергией меньшей, чем . Очевидно что при этом правела отбора к₁ + g = к₂, P2 = P₁ + ћg должны нарушаться. Однако нарушение правил отбора к₁ + g = к₂ не может означать нарушения законы сохранения квазиимпульса (импульса). Переход электрона электрона из состояния к₁ ≈ 0 в состояние к₂ ≈ к₀ возможен, если изменение импульса электрона будет компенсироваться изменением импульса фотона.
Рассмотрим две возможности. Первая:
Электрон переходит из состояния E₁(0) в состояние E₂(к₀) в в результате поглощения фотона с энергией длинноволнового фотона с энергией , при этом электрон оказывается в состоянии E₂(0). Испустив фотон с энергией и волновым вектором - к₀, электрон оказывается в состоянии E₂(к₀). Таким образом, электрон переходит из E₁(0) в E₂(к₀), поглотив фотон с энергией . Необходимая для переброса электрона энергия сообщается электрону решеткой и решетке же она передается электроном. Переход электрона происходит через промежуточное состояние, в котором происходит преобразование длинноволнового фотона в коротковолновый. Другими словами, переход электрона из зоны проводимости в валентную зону происходит за счет энергии фотона, изменение же импульса электрона компенсируется решеткой (фононом).
Разобранная выше схема не является единственно возможной. Действительно, электрон в состоянии E₁(0) может поглотить фонон с энергией и квазиимпульсом ћк₀, в результате чего он окажется в некотором виртуальном состоянии; испустив длинноволновой фотон с энергией , электрон окажется в состоянии E₂(к₀). Электрон в состоянии E₁(0) может испустить фонон с энергией и импульсом (-ћк₀) и оказаться при этом в некотором виртуальном состоянии, поглотив затем фотон с энергией , электрон окажется в состоянии E₂(к₀). Таким образом, переход электрона из состояния E₁(0) в состояние E₂(к₀) при к₁≈0 и к₂≈к₀ происходит через ряд виртуальных состояний. Чтобы получить зависимость α(ω), необходимо учесть законы сохранения энергии и импульса


,
,

где ω_фон, К_фон – частота и волновой вектор поглощаемого (плюс) и испускаемого (минус) фотона. Граница поглощения должна определяться условием

Таким образом, существуют две границы собственного поглощения, оптическая ширина запрещенной зоны (минимальная) при непрямых невертикальных переходах должна быть меньше термической ширины запрещенной зоны на энергию фонона .

Если предположить, что возмущение содержит теперь некоторую характеристику фононов, то вероятность перехода электрона будет определяться как матричным элементом возмущения со стороны электромагнитного поля, так и матричным элементом возмущения со стороны решетки.
В предположении, что матричный элемент возмущения со стороны решетки не зависит от частоты фонона, мы получим зависимость коэффициента поглощения от частоты в виде

Если учесть, что число фононов зависит от их энергии и температуры, то выражение для α можно записать в виде

Первый член описывает процесс поглощения света с поглощением фононов, число которых пропорционально величине , второй член описывает процесс поглощения фотона с испусканием фонона, вероятность испускания фонона равна вероятности того, что данное колебание состояние не возбуждено, т.е.

Рис. 2. Зонная схема вблизи экстремумов зон Бриллюэна для непрямозонного полупроводника
В заключение этого рассмотрения сравним коэффициенты поглощения света в результате прямых и не прямых переходов. Прямой переход определяется вероятностью встречи двух частиц – электрона и фотона. При не прямых переходах должны встретиться три частицы – электрон, фотон фонон. Но это означает, что непрямой переход является процессом менее вероятным, чем прямой, поэтому коэффициента поглощения света при прямых переходах должен достичь больших величин, чем для непрямых переходов. Таким образом:
1. Переходы электрона при поглощении света называется прямыми, или вертикальными, если выполняется правело отборак₁+g=к₂, или к₁=к₂. Переходы называются непрямыми, или невертикальными, если .
2. Край собственного поглощения определяется при прямых и непрямых переходах соответственно соотношениями:


,

3. Коэффициент поглощения α у края собственного поглощения пропорционален разности в степени r: где r принимает значения от ¹/₂ до 3 в зависимости от структуры зон энергии.

4. Собственное поглощение приводит к генерации пары свободных носителей заряда – электрон и дырка.
5. Собственное поглощение приводит к быстрому поглощению света; длина свободного пробега фотона l_фт при имеет величину порядка .