Pánlerge kirip barıwı. Kopernik, Kepler, Galiley Nyuton hám basqa ilimpazlardıń jumısları menen tanısıw

---

9-tema. XVI-XIX ásirlerde matematika pánine ózgeriwshi muǵdarlardıń kirip 

keliwi. Dekart forma ideyalarınıń rawajlanıwı. Matematika-nıń tábiyiy 

pánlerge kirip barıwı. Kopernik, Kepler, Galiley Nyuton hám basqa 

ilimpazlardıń jumısları menen tanısıw. 

 

1. Analitikalıq geometriyanıń payda bolıwı. 

2. Rene Dekarttıń miynetleri haqqında. 

3. Algebralıq teńlemeler teoriyası. 

4. Tuwrımúyeshli koordinatalar sistemalarınıń payda bolıwı.  

5. qozǵalmalı kanonikalıq reperdiń kelip shıǵıwı. 

 

 

Tayanısh  sózler:  koordinata,  konuslıq  kesim,  geometriyalıq  orın,  kesindi, 

abscissalar  kósheri,  sızıqtıń  teńlemesi,  normal`,  urınba,  differencial,  vektor 

funkciya, qozǵalmalı reper. 

 

 

Analitikalıq  hám  differencial  geometriya-francuz  matematigi  P`er  Ferma 

(1601-1665)  Dekartqa  qaraǵanda  burınıraq  tuwrı  múyeshli  koordinatalardı  kiritti, 

koordinatalar  usılın  bayan  qıldı  hám  onı  geometriyaǵa  qollandı.  Bunda  ol  tuwrı 

sızıqtıń teńlemesin hám ekinshi tártipli iymek sızıqtıń teńlemesin keltirip shıǵardı. 

Qyey  jılı  jazılǵan 

{

Tegisliktegi  hám  keńisliktegi  orınlar  teoriyasına  kirisiw} 

atamasındaǵı  shıǵarmasında  Apolloniy  pergskiydiń  islerin  dawam  ettirip,  tuwrı 

sızıqlarǵa  birinshi  dárejeli  teńlemeler,  konuslıq  kesimlerge  ekinshi  tártipli 

teńlemeler  sáykes  keletuǵınlıǵın  kórsetti.  Eger  teńlemede  eki  belgisiz  qatnassa, 

onda olardıń geometriyalıq orındı hasıl qılatuǵınlıǵın kórsetti. 

Fermadan keyin analitikalıq geometriyanıń tiykarın salıwshılardıń biri francuz 

matematigi Rene Dekart (1596-1650) bolıp esaplanadı. 

1637  jılı  gollandiya  qalası  Leydende  8-iyun` kúni  Jan  Mere  baspaxanasında 

R.  Dekarttıń 

{

Metod  haqqında  pikir}  (Rassujdenie  o  metode)  atamadaǵı 

shıǵarması  basılıp  shıqtı.  Bul  shıǵarma  úsh  bólimnen:

  {

Deoptrika},  {Meteorlar} 

hám  {Geometriya}  turadı.  Bul  shıǵarmada  ilimiy  metod  haqqındaǵı  pikirlerdi 

túsindiriw hám olardı ámelge asırıw kózde tutılǵan edi. Deoptrikada ol eki ortalıq 

shegarasında nurdıń sınıw nızamın bayanladı hám onı tiykarladı hám oǵan súyenip 

raduga  teoriyasın  jarattı. 

{

Meteorlar}da  ol  raduganıń  kelip  shıǵıw  sebeplerin 

túsindirdi,  tájriybelerdi  bayan  qıldı.  Sonday-aq  ol  bultlar,  qar,  dawıl,  shaqmaq 

payda  bolıw  nızamların  biliwge,  samaldıń  tábiyatın  tekseriwge  háreket  qıldı. 

Dekarttıń tiykarǵı xızmeti ol tábiyat qubılısların ilim járdeminde túsindirdi.  

Ú

shinshi  bólim 

{

Geometriya}da  Dekart  koordinatalar  usılın  jaratadı,  onıń 

járdeminde geometriya hám algebra arasında bekkem baylanıs ornatıldı. Algebralıq 

máselelerdi  geometriya  járdeminde,  al  algebralıq  teńlemeler  teoriyasın 

geometriyalıq máselerdi sheshiwge qollanıwdı úyretti.  

Geometriyanıń  tiykarǵı  elementi  kesindi  bolıp  esaplanatuǵın  edi.  Eger  a 

kesindige b kesindini qossaq, onda a+b kesindisi hasıl boladı. Olay bolsa a hám b 

---

kesindileriniń kóbeymesin qalay anıqlawǵa boladı? Grekler ab kóbeymesi tárepleri 

a hám b bolǵan tuwrımúyeshliktiń maydanı dep esaplaǵan edi.  

Dekart  kóp  ásirlik  bul  usıldan  bas  tartıp,  ab  nıń  kesindi  bolatuǵınlıǵın 

kórsetedi, bul kesindi x:a=b:q proporciyadan tabıladı. Dekart x=ab kesindini jasadı. 

x:q=a:b  proporciyadan  a  hám  b  kesindige  bóliw  múmkin  ekenligin  kóremiz. 

Dekart  abscissalar  kósherin  -  esaplawdıń  baslanǵısh  tochkası  O  tochkası 

belgilengen  tuwrı  sızıqtı  kiritip,  bazı  bir  kesindini  birlik  kesindi  dep  saylap  alıp, 

onıń járdeminde hár qanday kesindiniń uzınlıǵın ólshew múmkinshiligin kórsetti. 

Demek Dekartta hár bir kesindige oń san uzınlıǵı sáykeslendiriledi. Solay etip ol 

kesindiler  ústinde  ámeller  orınlanadı.  Bul  ámeller  oń  haqıyqıy  sanlar  ústinde 

orınlanıtuǵın ámeller edi, yaǵnıy kesindiniń uzınlıqların qosıwǵa, kóbeytiwge hám 

bóliwge bolatuǵınlıǵın kórsetti.   

    Abscisslar kósheriniń payda bolıwı sızıqlı hám teńlemeler arasında baylanıs 

ornatıwǵa  múmkinshilik  beredi.  F(x,n)=0  teńleme  berilgen  bolsa,  abscissa 

kósherinde  uzınlıǵı  x  ǵa  teń  kesindini  qoyamız  hám    F(x,n)=0  teńlemeden  u  tiń 

mánisin  tabamız hám onı kósherge perpendikul`yar bolǵan tuwrı sızıqta qoyamız, 

kelip  shıqqan  tochkanı  Arqalı  belgileymiz.  Sonda  x  hám  u  sanlar  M  tochkasınıń 

koordinataları dep ataladı.  

Bunnan  Dekart  tómendegi  juwmaqqa  keledi:  eger  x  ózgerse  ,onda  oǵan 

sáykes  u  te  ózgeredi  hám  M  tochka  háreket  dawamında  bazı  bir  tuwrı  sızıqtı 

yaǵnıy    F(x,n)=0          algebralıq  teńlemege  tegislikte  bazı  bir  tuwrı  sızıǵı  sáykes 

keledi.  

Dekart geometriyanıń tiykarǵı áhimiyeti sonnan ibarat, sızıqlardıń teńlemeleri 

ústinde  algebralıq  teńlemeleri  ústinde  algebralıq  ámellerdi  orınlap  olardıń 

qásiyetlerin úyreniw múmkin.  

{

Geometriya}  da  Dekart  óziniń  algebralıq  teńlemeleri  teoriyasın  bayan  etti. 

Ol n insh tártipli algebralıq teńleme  n kóriniske iy dep tastıyıqladı, bunda ol on, 

teris  hám  kompleks  korenlerdi  de  esapqa  aldı.  Bul  algebranıń  tiykarǵı  tereması 

bolıp, bunı XVII ásir basında P. Rote hám A. Jirar dálillegen edi. 

Dekarttıń  bul  kitabı  zamanlaslerı  tárepinen  úlken  qızıǵıwshılıq  penen  kúpip 

aldı, latın tiline awdarıldı, qısqa múddet ishinde tórt ret qayta basıldı. XVII ásirde 

matematika boyınsha oqıw qollanbasına aylandı. 

Dekart  matematika  tek  qana  algebralıq  teńlemeler  menen  bnrilgen  iymek 

sızıqlar  menen shuǵıllanıwı kerek, sebebi basqa sızıqlardı tekseriw ushın ulıwma 

usıl  joq  dep  esaplaytuǵın  edi.  Biraqta  matematikada  algebralıq  teńlemelerinen 

ańlatılmaytuǵın  sızıqlar:  Arximed  spiralı,  kvadratika,  traktrisa,  cikloyda  hám 

basqada usınday sızıqlar úlken áhmiyetke iye. 

Dekartdıń bul shekleniwin N`yuton hám Leybnic biykarǵa shıǵardı, sızıqlardı 

tekseriwge  ulıwma  usıllardı,  sonday  aq  koordinatalıq  usıllardı  da  qollandı. 

Koordinatalar  usılı  taǵı  da  rawajlanıp,  sál  keyinirek  koordinatalar  kósheri  payda 

boldı. XVIII ásirde streometriya XIX ásirde kúp ólshemli geometriya, XX ásirde 

sheksiz ólshemli geometriya jaratıldı. 

Dekart  geometriyalıq  sızıqları  tuwrı  múyeshli  koordinatalar  sistemasında 

algebralıq teńlemelnr  menen ańlatılatuǵınlıǵın kórsetti. Ol teńlemeniń dárejesiniń 

koordiatlar  sistemasın  saylap  alıwǵa  baylanıslı  emes  ekeknligin  dáliyledi  sonday 

---

aq  Dekart  óz  kitabında  tegis  sızıqlarǵa  normal  hám  urınbalar  júrgiziwdiń  usılın 

bayan qıldı hám onı tórtinshi tártipli iymek sızıqlardıń ayırım birewlerine qollandı. 

Dekartdıń  koordinatalar  sisteması  tolıq  isletirilmegen  edi,  teris  obsicalar 

qaralmaǵan edi. úsh ólshemli keńisliklegi analitikalıq geometriya  derlik qaralmay 

qaldı.  Solay  bolsa  da  onıń 

{

Geometriya}  sı  matematikanıń  rawajlanıwına  úlken 

tásir tiygizip, derlik 150 jıl dawamanda algebra hám analitikalıq geometriya Dekart 

kórsetken baǵdar boyınsha rawajlandı.  

Dekart  dáwirine  kelip  túrli  tegis  iymek  sızıqlar  haqqında  júdá  kóp 

maǵlıwmatlar  toplandı.  Dekart  koordinaalar  sistemasında  algebralıq  teńlemeler 

menen    anaqlanbaytuǵın  tegis  sızıqlar  payda  boldı.  Bularǵa  mısal: 

trigonometriyalıq  funkciyalardıń  grafikleri,  kvadratrisa,  Arximed  spiralı  h.t.b. 

dekarttıń  analitikalıq  geometriyası  iymek  sızıqlar  hám  betliklerdi  úyreniw  ushın 

jeterli  ulıwma  usıldı  bere  almadı,  sonnan  kúshlirek  basqa  usıl  tabıw  kerek  boldı. 

Bul usıl differencial bolıp shıqtı. 

Differenciallar  járdeminde  barlıq  iymek  sızıqlardı  hám  betliklerdi  olardıń 

málim bir shártler orınlanbaytuǵın tochkalarınan basqa barlıq tochkalarda tekseriw 

múmkinshiligi  kelip  shıqtı.  Biraqta  bul  shártler  awır  edi.  Dáslep  iymek  sızıqlar 

hám  betliklerdiń  differenciallanıwshı  funkciyalar  menen  berilgen  bólekleri 

qaralatuǵın  edi.  Bizge  belgili  differenciallanıwshılıq    shártleri  kóp  jaǵdaylarda, 

hátteki ápiwayı jaǵdaylarda da buzıladı. Solay etip bul shártler jeterli emes. Eger 

iymek  sızıq  hám  betliklerdi  vektor  funkciyalar  arqaloı  bersek,  onda  bul 

funkciyalardıń  birinshi  tuwındılarınıń  nolge  teń  bolmaslıǵın  talap  qılıwǵa  tuwra 

keler edi hám bunday tochkalardı bólek qaraw kerek boladı. 

Differencial  geometriyada 

{

qozǵalmalı  kanonikalıq  reper}  ataması  kelip 

shıqtı.  Bul  sóz  fransuzsha  {reper}  yaǵnıy  {belgi}  degendi  ańlattı.  Iymek  sızıqta 

bunday belgini qandayda bir koordinatalar sisteması atqaradı. Bul sistema hár bir 

tochkada  anıqlanǵanlıǵı  hám  iymek  sızıq  boylap  qozǵalatuǵın  bolǵanlıqtan 

{qozǵalmalı} dep ataladı. {kanonikalıq} sózi grekshe {kanon}  yaǵnıy {nızam }, 

{qaǵıyda}  mánisin  beredi.  Basqasha  aytqanda  reper  barlıq  waqıtta  tek  bir  ǵana 

geometriyalıq  qaǵıyda  tiykarında  tabılad:  Reperdiń  baslanǵısh  tochkası  iymek 

sızıqtıń  qaralıp  atırǵan  tochkasında  jaylasadı, 

1



е

    vektorı  binomal`  boyınsha 

baǵdarlanǵan  boladı.  Kanonikalıq  reper  formulaların  bir  uaqqıtta  francuz 

matematigi Jozep Al`fred Serre (1819-1885) hám Jozef Al`fred Serre  (1819-1885) 

tapqan. 

Moskva mámleketlik universiteti Segey Pavlovich Finikov (1883-1864) hám 

Parij universiteti professorı eli jozef Kartan (1869-1951) differenciyal geometriya 

boyınsha  bir  qansha  ilimiy  nátiyjelerge  eristi.  Kartan  hám  Fintsov  qozǵalmalı 

reperler  teoriyası  iymek  sızıqlar  hám  betliklerge  qollanılıpi  qoymay,  ol  bazı  bir 

quramalı geometriyalıq obrazlarǵa da qollanıldı.         

  

   

Sorawlar. 

1. Analitikalıq geometriyanıń tikarın salıwdaǵı P`er Fermanıń miynetleri 

2. Rene Dekarttıń {metod arqalı pikir} degen miynetiniń mazmunı? 

---

3. Kesindiler ústindegi ámellerdiń orınlanıwı? 

4. Algebralıq teńlemeler teoriyasınıń mánisin túsindiriń?  

5. Tuwrımúyeshli koordinatalar sistemalarınıń kelip shıǵıwın túsindiriń? 

6. Qozǵalmalı kanonikalıq reperdiń mánisin túsindiriń? 

 

 

Ádebiyatlar [1], [2], [3].