Пермь 2007 Разбор типовых задач

Задача 4. Монета подброшена 5 раз. Какова вероятность, что герб появится не более 2 раз?
Решение: В этой задаче . По формуле Бернулли находим вероятность события .

.
Задача 5. Производится 400 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность 320 попаданий в мишень; в) вероятность того, что число попаданий в мишень будет не менее 300 и не более 350.
Решение: а) найдем наивероятнейшее число попаданий в мишень из неравенства . По условию задачи . Тогда получим , значит, .
б) при больших ( ) имеет место приближенное равенство (локальная теорема Лапласа):
.
в) при больших ( ) имеет место приближенное равенство (интегральная теорема Лапласа): . На основании этой формулы получим:
.
Задача 6. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна =0,1. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544,можно было бы утверждать, что относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности не более, чем на 0,03?
Решение: По условию ; . Для решения воспользуемся формулой: . В силу условия задачи . По таблице находим . Отсюда или .
Задача 7. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

Решение. Для работы схемы необходимо, чтобы одновременно происходили следующие события:
А={работал хотя бы один из элементов };
В={работал хотя бы один из элементов };
С={работал элемент };
D={работал элемент };
Е={ работал хотя бы один из элементов };
Вычислим вероятности этих событий:
Р(А)= ;
Р(В)= ;
Р(С)= ;
Р(D)= ;
Р(Е)= .
События А, В, С, D, Е – независимы, по теореме умножения вероятностей получим:
Р=[ ][ ] [ ].

Решение остальных заданий варианта базируется на одних и тех же свойствах и теоремах, а поэтому решаются аналогично.¹