Pedagogika 015, 2-son Muassis: Nizomiy

Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – Москва: 
Наука, 1999. – С. 224. 
2
Тургунбаев Р.М. Математик анализ. 2 қисм. – Тошкент: ТДПУ, 2008. – Б. 136. 

---

PEDAGOGIKA
2015, 2-son
 
 
52 
qatoriga yoyish mumkin. Lekin 
0
a

qatorga yoyib bo‘lmaydi, bunga sabab 
0
z

nuqta
2
1
z
e

funksiyaning maxsus nuqtasidir. 
4-paradoks. Bernulli va Leybnits paradoksini qaraylik. 
2
0
1
1
x
arctgx
dx
x



ekanligi ma’lum. Integral ostidagi funksiyani quyidagicha ifodalab olamiz: 
2
1
1
1
1
1
2
x
i x i
x i











. Hosil bo‘lgan ifodaning o‘ng tomonini integrallab 
quyidagini olamiz: 
1
ln
2
x
i
arctgx
i
x
i



1
. Bu tenglikda 
1
x

deb olsak, u holda 
2
2
1
1
1
1
1
1
1
ln
ln
ln
1
ln
1
1
0
4
2
1
4
1
4
8
8
i
i
ln
i
i
i
i
i
i
i








 









Demak, 
0
4


, bu esa mumkin emas.
Bu paradoksning yechimini Eyler kompleks tekislikda 
z
e
funksiyaning 
davriy (davriy sof mavhum sonlar 
2
,
ni n
N


) ekanligidan foydalanib hal 
qilgan. 
z
e
funksiyaga teskari bo‘lgan 
Lnz
funksiya ko‘p qiymatli bo‘ladi. U 
ushbu formula yordamida topiladi: 
ln
arg
2
Lnz
z
z
k i




. Yuqoridagi 
masalani hal etishda logarifmik funksiyaning faqat bitta qiymati 
ln1
0

olingan. 
Agar 
1 2
,
Ln
ni k
Z



qiymatlaridan 
2 i

olinsa, u holda
4
4



bo‘lar edi. 
5-paradoks. Kompleks analiz yordamida elementar matematikaning 
ko‘plab masalalari o‘z yechimini topadi. Elementar matematikada irratsional 
tenglamalarni yechishda chet ildiz tushunchasi ishlatiladi. Lekin uning kelib 
chiqishi, matematik mohiyati tushuntirilmaydi, chunki haqiqiy sonlar ustidagi 
matematik ma’lumotlar yordamida bu faktni tushuntirib bo‘lmaydi. Buning 
matematik mohiyatini tushuntirish uchun kompleks analizga murojaat qililinadi.
3
2
0
x
x

 
irratsional tenglamani yechish 
2
3
2
0
x
x

 
kvadrat 
tenglamani yechishga keltiriladi. Uning ildizlari 
1,
2
x
x


berilgan irratsional 
tenglamaning ham ildizlari bo‘lishini tekshirib ko‘rish qiyin emas. Endi 
3
2
0
x
x



irratsional tenglamani yechish ham 
2
3
2
0
x
x

 
kvadrat 
tenglamani yechishga keltiriladi. Ammo uning ildizlari 
1,
2
x
x


berilgan 
irratsional tenglamani qanoatlantirmaydi, ya’ni 
3
2
0
x
x



tenglamaning 
ildizlari yo‘q. 
6
0
x
x



tenglama irratsionallikdan qutqarish natijasida 
2
6
0
x
x
  
kvadrat tenglamani yechishga keltiriladi, uning ildizlari 
1