Педагогик аннотацияси ўқув предмети: Алгебра ва сонлар назарияси 16-Мавзу: майдоннинг алгебраик кенгайтмаси

f(х)= с₀+c₁x +. . . +с_mx^m
кўпҳадлини олиб yнир(х)гa бўламиз. Фараз этайлик, р(х)га бўлиш натижасида q(х) бўлинма ва
r(х)=а₀+а₁x+…+а_k-1x^k-1
колдиқ келиб чиққан бўлсин, бундаги а_i ларнинг яна P элементи эканлиги аён. У вақтда биз шундай ёзаоламиз
f(x)=p(x)q(x)+r(x)
Бу тенгликдаги х ни θ га алмаштирсак,
f(x)=с₀+c₁θ +. . . +с_mθ^m=r(θ)= а₀+а₁θ+…+а_k-1θ^k-1
келиб чиқади, чунки p(θ)=0.
Эндибиз бўлиш амалининг мумкинлик масаласи билан машғул бўлаоламиз. P[θ] ичидан қандайдир иккита элементни олайлик:
α = а₀+а₁θ+…+а_k-1θ^k-1≠0
ва
β=b₀+b₁θ+…+b_k-1θ^k-1.
Энди
αx=β (2)
тенгламани P[θ] ичида ҳал қилиш мумкинлигини кўрсатамиз. Мана бу
g(х)=а₀+а₁x+…+а_k-1x^k-1
кўпҳадлининг нольга тенг бўлиши мумкин эмас, чунки акс ҳолда a₀=a₁=…=a_k-1=0 бўлиб, а элемент нольга тенг бўлиб қолади, Демак, g(x) нольга тенг эмас ва р(х) гaқараганда паст даражали кўпҳадли бўлгани учун р(х) гa бўлинаолмайди. Бундан, р(х) нинг P майдонда кёлтирилмайдиган бўлгани учун g(x) ва р(х) кўпҳадлиларнинг ўзаро оддий эканлиги келиб чиқади (§ 27 даги кўпҳадлининг келтирилмаслик хоссаларига қаралсин). Модомики шундай бўлар экан, бизга маълумки P майдонда шундай иккита φ(х) ва ϕ(x)кўпҳадлини танлаб олаш мумкинки, натижада yшбу тенглик ўринли бўлади
g(x)φ(х)+p(х)ϕ(x) =е (е– P майдонда бирлик)
IIIy тенгликдаги х ниθ элемент билан алиштирамиз. У вақтда р(х) нольга тенг бўлган қийматни қабул қилади, g(x) эсаа гa тенг бўлган қийматни қабул қилади, натижада қуйидагига эришамиз:
αξ=е, (3)
бундаги ξ=φ(θ). Энди биз ушбу
x=ξβ
(2) тенгламанинг илдизи эканлигини тасдиқлаймиз. Ҳақиқатан ҳам, (3) тенгликка мувофиқ
α(ξβ) = (αξ)β = еβ = β.
Ҳозиргина исбот қилинган теоремага асосап, θ алгебраик элемент бўлган ҳолда биз P[θ] даги квадрат қавсларни кичик қавслар билан алиштираоламиз ва P(θ) ни P га θ инбирлашmириш йўли билан ҳосил қилинган алгебраик кенгайтма деб атаймиз. „Алгебраик кенгайтма“ деган сўзлар бирлаштирилучи θ нинг алгебраик эканлигини кўрсатади (P га нисбатан).
Алгебраик P(θ) кенгайтманинг қуйндаги ажойиб хусусиятини қайд қилиб ўтамиз:
P гаθэлементни бирлаштирш йўли билан ҳосил қалинганP(θ) алгебраик кенгайтманинг ҳамма элементлариP гa нисбатан алгебраикдирлар.
Исбот.Фараз этайлик, α – P(θ) нинг иҳтиёрий элементи ва θ эса P майдонда келтирилмайдиган
p(x)=p₀+p₁x+…+p_kx^k, p_k≠0 (p_i-P нинг элементлари)
кўпҳадининг илдизи бўлсин. У вақтда αθ, αθ², . . . , αθ^k-1 ларнинг P(θ) га тегишли эканлиги аён, шунга асосан қуйидагича
αθⁱ= a_i0 + a_i1θ + . . . + a_ik-1θ^k-1 (i= 0, 1,..., k – 1),
ёки
a_i0+ a_i1θ + ... + (a_i1–α)θⁱ+…+ a_ik-1θ^k-1 = 0 (i=0, 1,..., k– 1)
ёзиў мумкин.
Биз бунда кўрамизки, kта x₀, x₁,…, x_k номаълумли kта чизиқли биржинсли ушбу
a_i0+ a_i1х+ ... + (a_i1–α)х ⁱ+…+ a_ik-1 х^k-1 = 0 (i=0, 1,..., k– 1)
тенгламалар системаси нольли бўлмаган мана бу
x₀=1≠0, x₁=θ, x₂=θ², …, x_k-1=θ^k-1
ечилмага эгадир. Шундай қилиб, (4) система детермнианти нольга тенг бўлиши керак:

яҳни α коэффициентлари P майдондан олинган k–нчи даражали ушбу

тенгламанинг илдизи экан; иккинчи турли айтганда биз α нинг P га нисбатан алгебраик элемент эканлигини кўрсатдик.
Энди биз илдизнинг мавжудлигини қйси йўл билан исбот қилишни биламиз- тегишли P(θ) алгебраик кенгайтма қуриш керак.
Илдизнинг мавжудлиги тўғрисидагитеореманинг исботи.P майдон устидаги n–нчи рангли алгебрани кўриб чиқайлик, унинг ε₀, ε₁, ..., ε_n-1 базис бўйича олинганкўпайтйриш жадвали қуйидигидан иборат: ҳарбир ε_i базисли элементга мос қилиб xⁱолинади ε_iε_j кўпайтмани ҳосил қилиш учун х номаълумининг мос даражалари ўзаро кўпайтирилади:
xⁱx^j=x^i+j. Сўнгра x^i+j ни
F(х)= A₀xⁿ+ A₁х^n-1+...+A_n(n≥2)
кўпҳадлига бўлишдан ҳосил бўладиган ушбу

қолдиқ топилади ва бу r_ij(х) колдикдаги xⁱ даражалар мос равишда ε_i базисли элементлар билан алиштирилади. Мана шy алмаштириш натижасида ушбу

ифода ҳосил бўлиб у, ε_i, ε_j кўпайтма ҳисобланади:

Биз ҳозир ҳакиқатан ҳам алгебра билан иш кўраётганимизни кўрсатамиз, яҳни биз киритган базисли элеметларникўпайтириш ассоцатив қонунга бўйсунади.
Дастлаб, (ε_i, ε_j)кўпайтманингқанчагатенглигинианиқлаймиз. (5) тенгликка биноан мана бунга эга бўламиз

ε_sε_k кўпайтмани келтириб чйқариш учун x^s+k ни F(х)га бўлишдан ҳосил бўлган r_sk(х) қолдиқдаги xⁱ ни ε_i билан алиштирмoқ керак. Демак, (ε_iε_j)ε_k кўпайтмани ҳосил қилиш yчyн

кўпҳадлидаги хⁱ даражаларни уларга мос бўлган ε_i базислиэлементлар билан алмаштирмоқ керак. Лекин қолдиқли бўлиш алгоритмига мувофиқ биз қуйидагича
r_sk(x) =x^s+k – F(x) q_sk(x)
ёзаоламиз, бундагиq_sk(x), F(x)гaх^s+kнибўлишданкелибчиққанбўлинмадир. Шундай

бундаги

Ўзнавбатида r_ij(x) =x^i+j– F(x)q_ij(x). Бундан қуйидаги, cўнгги натижагаэришамиз
r(x) =x^i+j+k – F(x)q(x),бундаги q(x)=q_ij(x)x^k+q₁(x) (7)
r(x) нинг кўпҳадли (6) даги ифодасидан кўринадики, r(x) нинг даражаси n дан кичик, чунки r_sk(x)қолдиқларнинг даражалари, бўлучи F(x)нингn даражасидан кичикдир. Шундай килиб,(7) тенгликдаги r(x) кўпҳалдиx^i+j+kниF(x) бўлишдан ҳосил бўлган қолдиқлар.
Бинобарин, (ε_iε_j)ε_k кўпайтмани ҳосил қилиш учун x^i+j+kни F(x) га бўлишдан ҳосил бўладиган r(x) колдиқни топиб ундаги x=e,x,…,x^n-1 дaражаларни уларга мос бўлмиш ε₀, ε₁, ..., ε_n-1 базис элементлари билан алиштириш керак.
ε_i(ε_jε_k) кўпайтма учун ҳам худди шундай натижа ҳосил бўлади: илгаргидек x^i+j+k ни F(x) га бўлиш керак. Демак, (ε_iε_j)ε_k = ε_i(ε_jε_k) яҳни базис элементларни кўпайтириш ассоциатив қонунга бўйсунади.
Энди бизнинг алгебрамизнинг ўзи нимадан иборат эканлигини кўрайлик. Ҳаммадан олдин бу алгебранинг коммутатив эканлиги очиқ маълум – ε_iε_j ёки ε_jε_iкўпайтмалардан қайси бириии олмайлик, у кўпайтмаларни топиш учун биргина x^i+jдаражани F(х)га бўлиш керак. Сўнгра ε₀ алгебранинг бирлик элементи эканлиги ҳам очид кўрсатиб турмокда. Бундан Pмайдоннинг бизнинг алгебрамиз ичида эканлиги келиб чиқади, шу сабабли баз ε₀=e деб кабул қилаоламиз ва бундаги емайдон P нинг бирлик элементидир. Сўнгра қуйидагиларни ҳам пайқаш қийин эмас

Шундай килиб алгебранинг ҳарбир элементи мана бу кўринишга эга

Энди нинг қанчага тенглигини топамиз. IIIy мақсад билан, бўлгани учун, x^n-1x=xⁿни F(x) га бўлишдан ҳосил бўлган қолдиқни топиш керак. Маълумки хⁿ ни F(х)га бўлгандан ҳосил бўлган колдиқ мана бунга тенг

Демак,

бундан

яҳни базисли элемент F(х)нинг илдизи бўлар экан.
Ниҳоят, 1 теоремадаги исботни айнан такрорлаш натижасида биз текшираётган алгебранинг майдон эканлигига ишонмоқ мумкин.
Бинобарин, биз кўрган алгебра изланаётган P' майдондан иборат бўлиб, унинг ичида F(x) илдизга эга ва шy илдиз ε₁ нинг ўзи экан.
Яна шуни қайд қилиб ўтамизки, ҳалиги P' мпйдон, ε₁ниP га бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P(ε₁) алгебраик кенгайтманинг ўзгинасидир. Бу натижа теореманинг бошдан охиригача қилинган исботидан келиб чиқади.
Кўпҳадли F'(x) нинг мос кенгайтма ичида илдизи борлигига ишонганлигимиздан кейин, энди ажратиш майдони тўғрисидаги муҳим тушунчани киритамиз.
Фараз этайлик,f(х), P майдон устидаги бирор n-ичи(n≥1.) даражали кўпҳадли бўлсин. f(x) кўпҳадлининг ажралишмайдони деб P майдоннинг шундай ∑ кенгайтмасига aйтиладики, унинг ичида f(x)n-та илдизга эга, яҳни унинг ycтuдаf(x) чизиқли кўпайтиручиларга бутунлай ажралади.
Текшириш шуии кўрсатадики, ноль даражадан юқори бўлган ҳарқандай f(x) кўпҳадли учун ажралиш майдони мавжуд экан; аниқрок қилиб айгганимизда қуйндаги теорема ўринликдир.
2-ТЕОРЕМА. (Ажралиш маёдонининг мавжудлиги тўғрисида). P[x]ҳалқадан олинган нолҳ даражадан юқори бўлган ҳарқандай f(x) кўпҳадли учун ажралши майдони мавжуддир.
Исбот. Фараз этайлик,f(х), P[х] ичидан олинган нольдан юкори даражали бирор кўпҳадли бўлсин (P ичида келтириладиган ёки келтирилмайдиган–барибир). AгapуP майдон устида чизиқли кўпайтиручиларга бутунлай ажралса, унда P майдон f(x) кўпҳадли учун Pажралиш майдони бўлиб қолади. Aгapf(x) учун P ажралиш майдони бўлмаса, унда биз f(x) кўпҳадлининг нольдан юқори даражали (P ичида) келтирилмайдиган биpop кўпайтиручисига мурожаат қиламиз ва шу келтирилинйдиган кўпайтиручининг илдизини ўз нчига оладиган P майдонинг P₁ кенгайтмасини кўрамиз. Агарда бу P₁ кенгайтма ҳам f(x) учун ажралиш майдони бўлмаса, у вақтда биз продессни давом этказамиз: P₁ майдоннинг шундай бир P₂ кенгайтмасини кўрамизки, унинг ичида f(x) кўпҳадлининг нольдан юкори даражали (P₁ ичида) келтирилмайднган бирор кўпайтиручиси илдизга эга бўлсин ва ҳоказо. Очиқ ма’лумки, чекли сондаги қадамлардан қейии биз f(x) кўпҳадлининг, ажралиш майдонига етиб келамиз.
Комплекс сонлар майдони кўп учрайдиган майдонлардан биридир, уни биз ҳақиқий сонлар майдонининг кенгайтмаси деб қарамоғимиз мумкин. Биз қуйида кўрсатамизки, комплекс сонлар майдони фақат ҳақиқий коэффициентли эмас, ҳаттоки комплекс коэффициентли қарқандай n≥1 даражали кўпҳадли учун ҳам ажралиш майдони бўлади. Шy мақсад билан бизга бирнеча номаълумли кўпхадлилар назариясидаги бaҳзи маълумотлардан фойдаланишга тўғри келади.


МУСТАҚИЛ ЕЧИШ УЧУН МИСОЛЛАР.
5.1.R ҳақиқий сонлар майдонида илдизлари қуйидагилардан иборат бўлган энг кичик даражали нормал кўпҳад тузинг.
a) 2+i оддий ва 1 икки каррали илдиз бўлса.
b)-3 оддий va 1-i икки каррали илдиз бўлса
v) 1-i оддий va 2+i икки каррали илдиз бўлса,
g) -1-i оддий, i va 1-i лар икки каррали илдиз бўлса,
d) 2-3i уч каррали илдиз бўлса
5.2. Қуйидаги кўпҳадларни R да келтирилмайдиган кўпҳадлар кшпайтмаси шаклида ифодаланг.
a) b)
v) g)
d) e)
z) i)
4.3 Quyidagi ko’phadlarni S kompleks sonlar maydoni keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoying
a) b)
v) g)
d) e)
J:


АМАЛИЙ ВАЗИЯТНИ БОСҚИЧМА – БОСҚИЧ ТАҲЛИЛ ҚИЛИШ ВА ҲАЛ ЭТИШ БЎЙИЧА ТАЛАБАЛАРГА УСЛУБИЙ КЎРСАТМАЛАР
Талабаларга йўриқнома

Иш босқичлари	Маслаҳатлар ва тавсияномалар.
1. Кейс ва унинг ахборот таҳминоти билан танишиш	Аввало кейс билан танишинг. “Майдоннинг алгебраик кенгайтмаси” ҳақида тушунча ҳосил қилиш учун бор бўлган бутун ахборотни диққат билан ўқиб чиқиш лозим. Ўқиш пайтида вазиятни таҳлил қилишга шошилманг
2. Берилган вазият билан танишиш	Маълумотларни яна бир маротаба диққат билан ўқиб чиқинг. Сиз учун муҳим бўлган сатрларни белгиланг. Бир абзацдан иккинчи абзацга ўтишдан олдин, уни икки уч маротаба ўқиб мазмунига кириб борамиз. Кейсдаги муҳим фикрларни қалам ёрдамида остини чизиб қўйинг. Вазият тавсифида берилган асосий тушунча ва ибораларга диққатингизни жалб қилинг. Чизиқли тенгламалар системаси устида бажариладиган элементар алмаштиришларни яхши ўрганиб уларни векторлар системаси устида бажариладиган элементар алмаштиришлардан фарқини аниқланг.
3. Муаммоли вазиятни таҳлил қилиш	Асосий муаммо ва кичик муаммоларга диққатингизни жалб қилинг. Асосий муаммо: Агар P майдон. кенгайтмаси бўлмишΩнингθэлементи P га нисбатан алгебраик бўлса, у ҳолда P га θэлементни бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P[θ]ҳалқа бир вақтда майдон ҳам бўладими? Қуйидаги саволларга жавоб беришга ҳаракат қилинг. Комплекс сон деб нимага айтилади? Илдизнинг мавжудлиги тўғрисидаги теоремани айтинг? Майдонга таҳриф айтинг? Ажралиш майдонининг мавжудлиги тўғрисида теоремани айтинг? Асосий муаммо нимага қаратилганини аниқланг. Муаммонинг асосий мазмунини ажратиб олинг. Муаммоли вазиятни таҳлил қилиш – обҳектнинг ҳолатини аниқланг, асосий қирраларига эҳтибор қаратинг, муаммоли вазиятнинг ҳамма томонларини таҳлил қилинг. Кўпхадлар камида битта илдизга эга бўлишини аниқланг.
4. Муаммоли вазиятни ечиш усул ва воситаларини танлаш ҳамда асослаш	Ушбу вазиятдан чиқиб кетиш ҳаракатларни излаб топиш мақсадида қуйида тақдим этилган “Муаммоли вазият” жадвалини тўлдиришга киришинг. Муаммони ечиш учун барча вазиятларни кўриб чиқинг, муқобил вазиятни яратинг. Муаммонинг ечимини аниқ вариантлардан танлаб олинг, муаммонинг аниқ ечимини топинг. Жадвални тўлдиринг. Кейс билан ишлаш натижаларини ёзма шаклда илова этинг

“Муаммоли вазият” жадвалини тўлдиринг

Вазиятдаги муаммолар тури	Муаммоли вазиятнинг келиб чиқиш сабаблари

Тўлдирилган жадвал (ўқитувчи олдиндан тўлдиради – талаба қўлига берилмайди)

Муаммоли вазият	Муаммоли вазиятнинг келиб чиқиш сабаблари
Агар P майдон. кенгайтмаси бўлмишΩнингθэлементи P га нисбатан алгебраик бўлса, у ҳолда P га θэлементни бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P[θ]ҳалқа бир вақтда майдон ҳам бўладими?	Майдон хоссаларини билмасликдан, кўпхадлар хоссаларини яхши билмасликдан

Ўтказилган таҳлиллар ва натижалар
Муаммоли вазиятни таҳлил қилиш – обҳектнинг ҳолати аниқлангандан сўнг, муаммонинг асосий қирраларига эҳтибор қаратиб, муаммоли вазиятнинг ҳамма томонларини таҳлил қилишга ҳаракат қиламиз. Муаммонинг ечимини аниқ вариантлардан танлаб олиб, “Т - схема” жадвалини тўлдирамиз.

Таққосламалар системасини ечиш схемасини келтиринг.	Бир номаълумли таққосламаларни ечиш схемасини келтиринг.

Вазиятдан чиқиб кетиш ҳаракатлари

Тўлдирилган жадвал (ўқитувчи олдиндан тўлдиради – талаба қўлига берилмайди)

Вазиятдан чиқиб кетиш ҳаракатлари

Майдоннинг алгебраик кенгайтмасини ўрганиш, майдон хоссаларини ўрганиш, кўпхадлар хоссаларини келтириб чиқариш.

“Муаммоли вазият” жадвалининг якуний кўриниши

Муаммоли вазият	Муаммоли вазиятнинг келиб чиқиш сабаблари	Вазиятдан чиқиб кетиш ҳаракатлари
Агар P майдон. кенгайтмаси бўлмишΩнингθэлементи P га нисбатан алгебраик бўлса, у ҳолда P га θэлементни бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P[θ]ҳалқа бир вақтда майдон ҳам бўладими?	Майдон хоссаларини билмасликдан, кўпхадлар хоссаларини яхши билмасликдан	Майдоннинг алгебраик кенгайтмасини ўрганиш, майдон хоссаларини ўрганиш, кўпхадлар хоссаларини келтириб чиқариш

Кейс билан ишлаш жараёнини баҳолаш мезонлари ва кўрсаткичлари
(мустақил аудиторияда ва аудиториядан ташқари бажарилган иш учун)
Аудиториядан ташқари бажарилган иш учун баҳолаш мезонлари ва кўрсаткичлари

Талабалар Рўйхати	Асосий муаммоажратиб олиниб, тадқиқот обҳекти аниқланган мак. 6 б	Муаммоли ва-зиятнинг келиб чиқиш сабаблари аниқ кўрсатилган мак. 4 б	Вазиятдан чиқиб кетиш ҳаракатлари Аниқ кўрсатилган мак. 10 б	Жами мак.20 б

Аудиторияда бажарилган иш учун
баҳолаш мезонлари ва кўрсаткичлари

Гуруҳлар Рўйхати	Гуруҳ фаол мак. 1 б	Маълумотлар кўргазмали тақдим этилди мак.4 б	Жавоблар тўлиқ ва аниқ берилди мак.5 б	Жами мак.10 б
1
2
3

9-10 балл – аҳло, 7- 8 балл – яхши, 5- 6 балл – қониқарли

Блиц-сўров савол ва жавоблари

	Савол	Жавоб
1.	Илдизнинг мавжудлиги тўғрисидаги теоремани айтинг?	F(х) =A0x^n+ A1x^n-1 +…+ An , n≥2 F(х) кўпҳадли камида битта илдизга эга
2	Умумий бўлувчи деб нимага айтилади?	Aгap f(х) ва (х) кўпҳадлар g (х) кўпҳадга бўлинса, у ҳолда g(х) кўпҳад f(x) ва  (х) кўпҳадларнинг умумий бўлувшси дейилади.
3.	Ажралиш майдонининг мавжудлиги тўғрисида теоремани айтинг?	P[x]ҳалқадан олинган нолҳ даражадан юқори бўлган ҳарқандай f(x) кўпҳадли учун ажралши майдони мавжуддир.