|
3.2. Оценка точности аппроксимации
Различия в представлении эмпирической зависимости по отношению к
моделирующей ее аналитической функции оценивается коэффициентом
31
аппроксимации ε, который вычисляется как среднее модуля величин
эмпирических и теоретических значений, отнесенных к соответствующим
эмпирическим
значениям.
Относительная
ошибка
аппроксимации
эмпирической зависимости с помощью линейной функции:
1 │ y
i
-
ŷ
xi
│
ε = — ∑│ ———│∙ 100%. (30)
N
│ y
i
│
Здесь в выражении (31) значения y
i
мы берм из табл. 2, а значения ŷ
xi
получаем из формулы (28). Схема вычисления суммы в выражении (30)
приведена в рабочей табл. 5.
Таблица 5
Рабочая таблица для вычислении суммы выражения (30)
i
y
i
ŷ
xi
по (27) │y
i
-
ŷ
i
│ │y
i
-
ŷ
i
/y
i
│
1
2
3
4
5
1
1
1
3
4
0,4
1,2
2,0
2,8
3,6
0,6
0,2
1,0
0,2
0,4
0,60
0,20
1,00
0,06
0,13
∑ │ y
i
-
ŷ
i
/ y
i
│
= 1,99
Тогда по формуле (30) получим:
1
ε = — ∙ 1,99 ∙ 100% = 38,6%,
5
что, конечно, свидетельствует о далеко не малой ошибке
(предпочтительной считается ошибка, не превышающая 10%). Обычно
аппроксимирующую функцию на этапе спецификации (выбор вида
аппроксимирующей
зависимости
–
степенной,
показательной,
логарифмической и др.) подбирают так, чтобы ошибка аппроксимации не
превышала единиц процентов. В данном случае задачу аппроксимации методом
32
наименьших квадратов было бы целесообразно решить еще раз, скажем, для
степенной или показательной функции. Однако вычисления по сравнению с
линейной функцией намного усложнятся вследствие необходимости
предварительной
линеаризации
и
последующей
делинеаризации
аппроксимирующей функции.
При использовании стандартных компьютерных пакетов прикладных
программ (ППП) «Статистика», «Статграфик», «SPSS» и др., как уже
упоминалось, от пользователя требуется лишь занесение исходных данных.
Затем выбранной компьютерной программой они используются всеми
имеющимися парными функциями различного вида, и пользователю
предоставляется возможность выбрать ту функцию (не обязательно линейную),
относительная ошибка аппроксимации которой является минимальной среди
имеющегося встроенного банка функций ŷ
i
.
.
Набор таких функций, кроме уже рассмотренной линейной, может быть
любым. Вот некоторые виды парных зависимостей
1) степенная ŷ
х
= ах
b
,
b
2) гиперболическая ŷ
х
= а +
— ,
x
3) показательная ŷ
х
= ab
x
,
4) логарифмическая ŷ
х
= a +blgx
5) параболическая ŷ
х
= a +bx
+ сх
2
Понятно, что рядом с исходными данными на плоском графике какие-то
из графиков парных зависимостей будут более приближенными к исходным
точкам в тех же координатах, какие-то – менее приближенными к ним. Поэтому
подбор вида парных зависимостей (иначе говоря - решение задачи
спецификации
) является одним из основных этапов решения задачи замены
33
дискретных данных теоретической зависимостью, которая, в свою очередь,
называется решением задачи
аппроксимации
.
Осуществляя такую аппроксимацию на интуитивном уровне, можно
легко убедиться в том, что провести, например, прямую линию вида (6) так,
чтобы она максимально близко пролегала вблизи эмпирических точек –
далеко не всегда возможно. Поэтому стараются подобрать такие парные
зависимости, которые лучше аппроксимируют исходную статистическую
информацию в виде табл. 2.
При этом специализированные компьютерные программы, например для
выбранной степенной парной зависимости вида ŷ
х
= ах
b
, сначала линеаризуют,
применяют метод МНК вида (8), а затем делинеаризуют с выводом формул для
вычисления коэффициентов регрессии а и b. Сам процесс начальной
линеаризации сводится к тому, чтобы придать выбранной парной зависимости
линейный вид. Так, для выбраннного нами вида степенной функции при
решении задачи спецификации линеаризуется весьма просто путем
логарифмирования (по любому основанию) ее обеих частей:
lg (ŷ
х
) = lg (a) + b ∙ lg (x).
В полученном уравнении роль функции и аргумента выполняют их
логарифмы, то есть какие-то числа, и оба неизвестных а и b будут в первой
степени, а значит и уравнение – линейным относительно их и т.д. Затем к
такому уравнению применяют МНК, а результаты делинеаризируют.
Обычно пакеты программ перебирают все имеющиеся в их базе виды
парных зависимостей и рекомендуют исследователю одну из них либо по
минимальной среди возможных величине ошибки аппроксимации вида (31),
либо по максимальному коэффициенту детерминации (33), который формально
является квадратом ранее полученного коэффициента линейной корреляции.
Однако по существу (если продолжить аналитические расчеты и выводы)
коэффициент детерминации отражает отношение объясненной дисперсии по
отношению к аппроксимирующей функции к общей дисперсии, что также
рассматривается в учебной дисциплине «Эконометрика».
34
Do'stlaringiz bilan baham: |
