|
Funksiya limiti
1
0
. To`plamning limit nuqtasi.
Aytaylik, biror
R
X
to`plam va
R
x
0
nuqta
berilgan bo`lsin.
1-ta`rif.
Agar
0
x
nuqtaning ixtiyoriy
)
0
(
)
,
(
)
(
0
0
0
x
x
x
U
atrofida
X
to`plamning
0
x
nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo`lsa, ya`ni
|
|
:
,
,
0
0
0
x
x
x
x
X
x
bo`lsa,
0
x
nuqta
X
to`plamning
limit nuqtasi
deyiladi.
Misollar. 1.
]
1
,
0
[
X
to`plamning har bir nuqtasi shu to`plamning limit nuqtasi
bo`ladi.
2.
)
1
,
0
(
X
to`plamning har bir nuqtasi va
1
,
0
x
x
nuqtalar shu to`plamning
limit nuqtalari bo`ladi.
3.
...
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
X
to`plamning limit nuqtasi
0
0
x
bo`ladi.
4.
...}
,
3
,
2
,
1
{
N
X
to`plam limit nuqtaga ega emas.
2-ta`rif.
Agar
0
x
nuqtaning ixtiyoriy
))
,
(
)
(
(
)
,
(
)
(
0
0
0
0
0
0
x
x
x
U
x
x
x
U
)
0
(
o`ng atrofida (chap atrofida)
X
to`plamning kamida bitta nuqtasi bo`lsa,
0
x
nuqta
X
to`plamning
o`ng
(
chap
)
limit nuqtasi
deyiladi.
3-ta`rif.
Agar ixtiyoriy
R
с
uchun
}
|
{
)
(
c
x
R
x
U
c
to`plamda
X
to`plamning kamida bitta nuqtasi bo`lsa,
"
"
X
to`plamning limit «nuqta»si
deyiladi.
Agar ixtiyoriy
R
с
uchun
}
|
{
)
(
c
x
R
x
U
c
11
to`plamda
X
to`plamning kamida bitta nuqtasi bo`lsa,
"
"
X
to`plamning limit «nuqta»si
deyiladi.
Keltirilgan ta`rif va misollardan ko`rinadiki, to`plamning limit nuqtasi shu to`plamga
tegishli bo`lishi ham, bo`lmasligi ham mumkin ekan.
1-teorema.
Agar
R
x
0
nuqta
R
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsa, u holda
0
x
nuqtaning har qanday
)
0
(
)
,
(
)
(
0
0
0
x
x
x
U
atrofida
X
to`plamning cheksiz ko`p nuqtalari bo`ladi.
◄Aytaylik,
0
x
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin. Teorema tasdig`ining
teskarisini faraz qilaylik:
0
x
nuqtaning biror
)
(
0
0
x
U
atrofida
X
to`plamning chekli sondagi
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
nuqtalarigina bo`lsin. U holda
}
|,
|
...,
|,
|
|,
{|
min
0
0
2
0
1
0
n
x
x
x
x
x
x
deb olinsa,
0
x
nuqtaning
)
(
0
x
U
atrofida
X
to`plamning
0
x
dan farqli bitta ham nuqtasi
bo`lmaydi. Bu esa
0
x
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lishiga ziddir. ►
2-teorema.
Agar
0
x
nuqta
R
X
to`plamning limit nuqta-si bo`lsa, u holda shunday
sonlar ketma-ketligi
}
{
n
x
topila-diki,
1)
N
n
da
0
,
x
x
X
x
n
n
;
2)
n
da
0
x
x
n
bo`ladi.
◄Aytaylik,
R
x
0
nuqta
R
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin. Unda 1-ta`rifga
binoan
|
|
:
,
,
0
0
0
x
x
x
x
X
x
n
n
n
bo`ladi. Jumladan,
1
uchun
1
|
|
:
,
0
1
0
1
1
x
x
x
x
X
x
,
2
1
uchun
,
2
1
|
|
:
,
0
2
0
2
2
x
x
x
x
X
x
3
1
uchun
,
3
1
|
|
:
,
0
3
0
3
3
x
x
x
x
X
x
......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
n
1
uchun
,
1
|
|
:
,
0
0
n
x
x
x
x
X
x
n
n
n
......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
bo`ladi.
Natijada qaralayotgan teoremaning 1) shartini qanoat-lantiruvchi
}
{
n
x
ketma-ketlik hosil
bo`lib, uning uchun
N
n
da
n
x
x
n
1
|
|
0
tengsizlik o`rinli bo`ladi. Keyingi munosa-
batdan esa
n
da
0
x
x
n
kelib chiqadi. ►
SHuni ta`kidlash lozimki, 2-teoremaning shartlarini qanoatlantiruvchi ketma-ketliklar
ko`plab topiladi.
2
0
. Funksiya limiti ta`riflari.
Faraz qilaylik,
)
(
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan
bo`lib,
0
x
nuqta
X
to`plam-ning limit nuqtasi bo`lsin.
0
x
nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy
n
x
:
)
,
(
...
,
...,
,
,
0
2
1
x
x
X
x
x
x
x
n
n
n
ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat
)}
(
{
n
x
f
:
12
...
),
(
...,
),
(
),
(
2
1
n
x
f
x
f
x
f
ketma-ketlikni hosil qilamiz.
3-ta`rif.
(Geyne). Agar
n
da
)
,
(
0
0
x
x
X
x
x
x
n
n
n
bo`ladigan
ixtiyoriy
}
{
n
x
ketma-ketlik uchun
n
da
b
x
f
n
)
(
bo`lsa,
b
ga
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti
deyiladi va
0
x
x
da
b
x
f
)
(
yoki
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
kabi belgilanadi.
Eslatma.
Agar
n
da
)
,
(
0
0
x
x
X
x
x
x
n
n
n
va
)
,
(
0
0
x
y
X
y
x
y
n
n
n
bo`ladigan turli
}
{
},
{
n
n
y
x
ketma-ketliklar uchun
n
da
1
)
(
b
x
f
n
,
2
)
(
b
y
f
n
bo`lib,
2
1
b
b
bo`lsa
)
(
x
f
funksiya
0
x
x
da
limitga ega emas deyiladi.
1-misol
. Ushbu
x
x
x
x
f
4
16
)
(
2
2
funksiyaning
4
0
x
nuqtadagi limiti topilsin.
◄ Quyidagi
}
{
n
x
:
...)
,
2
,
1
,
4
(
4
lim
n
x
x
n
n
n
ketma-ketlikni olaylik. Unda
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
f
4
4
16
)
(
2
2
bo`lib,
n
da
2
)
(
n
x
f
bo`ladi. Demak,
.
2
4
16
lim
2
2
x
x
x
n
►
2-misol.
Ushbu
x
x
f
1
sin
)
(
funksiyaning
0
x
dagi limiti mavjud bo`lmasligi ko`rsa-tilsin.
◄ Ravshanki,
n
da
,
0
)
1
4
(
2
'
n
x
n
0
)
1
4
(
2
'
'
n
x
n
bo`ladi.
Bu ketma-ketliklar uchun
1
2
1
4
)
(
,
1
2
1
4
)
(
''
'
n
x
f
n
x
f
n
n
bo`lib,
n
da
1
)
(
,
1
)
(
''
'
n
n
x
f
x
f
bo`ladi. Demak, berilgan funksiya
0
0
x
nuqtada limitga ega emas. ►
13
4-ta`rif.
(Koshi). Agar
0
son olinganda ham shunday
0
)
(
topilsaki,
})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x
uchun
|
)
(
|
b
x
f
tengsizlik bajarilsa,
b
soni
)
(
x
f
Do'stlaringiz bilan baham: |
