|
.
6.4.
Elementar bo‘lmagan boshlang‘ich funksiyalarni topish.
Bizga
ma’lumki, berilgan
y=f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
y=F
(
x
) aniq integral
yordamida
x
a
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
formula orqali topilishi mumkin. Ammo har doim ham bu aniq integral elementar
funksiyalarda ifodalanmaydi. Bunday hollarda
F
(
x
) boshlang‘ich funksiya darajali
qatorlar orqali ifodalanishi mumkin. Buning uchun integral ostidagi
f
(
t
) funksiyaning
Makloren qatorini topamiz va uni hadlab integrallaymiz. Buni quyidagi ikkita
misolda ko‘rib chiqamiz.
Dastlab
integral sinus
deb ataluvchi ushbu funksiyaning ifodasini
topamiz:
x
dt
t
t
x
0
sin
)
(
Si
.
Buning uchun
f
(
x
)=sin
x
funksiyaning Makloren qatorida
x
o‘zgaruvchini
t
orqali
belgilab va hosil bo‘lgan qatorni
t
ga bo‘lib, (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ushbu
darajali qatorni hosil etamiz:
0
2
1
2
1
6
4
2
)!
1
2
(
)
1
(
)!
1
2
(
)
1
(
!
7
!
5
!
3
1
sin
k
k
k
n
n
k
t
n
t
t
t
t
t
t
.
Bu darajali qatorni (0,
x
) oraliq bo‘yicha hadlab integrallab, integral sinus uchun (–
∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ushbu darajali qatorga ega bo‘lamiz:
0
1
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
)!
1
2
)(
1
2
(
)
1
(
)!
1
2
(
)
1
(
)!
1
2
(
)
1
(
sin
Si
k
k
k
k
x
k
k
x
k
k
k
x
k
k
x
dt
t
k
k
t
dt
t
t
x
.
Endi
Laplas funksiyasi
deb ataladigan ushbu integralni qaraymiz:
x
t
dt
e
x
Ф
0
2
)
(
.
Bu funksiyani darajali qator orqali ifodalash uchun
f
(
x
)=
e
x
funksiyaning Makloren
qatorida
x
o‘zgaruvchini
t
2
bilan almashtiramiz va hosil bo‘lgan qatorni hadlab
integrallaymiz:
0
1
2
0 0
2
0
0
2
0
!
)
1
2
(
!
!
)
(
2
k
k
k
x
k
x
k
k
x
t
k
k
x
dt
k
t
dt
k
t
dt
e
x
Ф
.
6.5.
Differensial tenglamalarni yechish.
Agar berilgan differensial
tenglamaning
y
umumiy yechimini aniq topish usuli bizga noma’lum yoki u
elementar funksiyalarda ifodalanmasa, ayrim hollarda bu yechimni darajali
qatorlar yordamida topish mumkin. Buning uchun bu yechim
n
n
x
C
x
C
x
C
C
y
2
2
1
0
(9)
darajali qator ko‘rinishida izlanadi. Bu yerdagi noma’lum
C
n
(
n
=0,1,2, ∙∙∙)
koeffitsiyentlar darajali qatorni berilgan differensial tenglamaga qo‘yish va
hosil bo‘lgan tenglikning ikki tomonidagi
x
o‘zgaruvchining bir xil darajalari
oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish orqali topilishi mumkin. Bu usulni I
tartibli ushbu
xy
y
xy
y
0
(10)
differensial tenglamaning umumiy yechimini topish misolida namoyish etamiz.
Bu yechimni (9) darajali qator ko‘rinishida ifodalab va bu qatorni hadlab
differensiallab, berilgan tenglamaga ko‘ra ushbu tenglikni hosil etamiz:
)
(
2
1
0
1
2
1
n
n
n
n
x
C
x
C
C
x
x
nC
x
C
C
1
2
1
0
1
2
1
2
n
n
n
n
x
C
x
C
x
C
x
nC
x
C
C
.
Bu yerdan
C
1
=0 va
qolgan koeffitsiyentlar uchun ushbu tengliklarga ega
bo‘lamiz:
,
4
,
3
,
2
,
2
n
C
nC
n
n
.
Bu tengliklardan birin-ketin
C
n
koeffitsiyentlarni topib, ular uchun
)
,
3
,
2
,
1
(
1
2
,
0
,
2
,
!
)!
2
(
)
1
(
0
m
m
n
m
n
m
C
C
m
n
formulaga ega bo‘lamiz. Demak, berilgan I tartibli differensial tenglama
umumiy yechimi
0
2
0
2
6
4
2
0
!
)!
2
(
)
1
(
)
!
)!
2
(
)
1
(
!
!
6
!
!
4
!
!
2
1
(
k
k
k
m
m
k
x
C
m
x
x
x
x
C
y
(11)
darajali qator orqali ifodalanishini ko‘ramiz. Bu yerda
C
0
ixtiyoriy chekli sonni
ifodalaydi. Dalamber alomati yordamida (11) qator (–∞, ∞) oraliqda
yaqinlashuvchi ekanligini o‘quvchi mustaqil ravishda tekshirib ko‘rishi
mumkin.
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan
f
(
x
)
=e
x
funksiyaning Makloren qatorida
x
o‘zgaruvchini –
x
2
/2 bilan almashtirib
0
2
0
2
0
2
2
/
!
)!
2
(
)
1
(
!
2
)
1
(
!
)
2
/
(
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
k
x
k
x
k
x
e
natijani olamiz. Bundan foydalanib (10) differensial tenglamaning (11) umumiy
yechimini
2
/
0
2
x
e
C
y
ko‘rinishda bo‘lishini topamiz.
Darajali qator yordamida Koshi masalasini ham yechish mumkin. Bunda
yechim
n
n
x
x
n
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
x
y
y
)
(
!
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
0
0
)
(
2
0
0
0
0
0
ko‘rinishdagi darajali qator ko‘rinishida topiladi. Bu qatordagi
x
0
va
y
(
n
)
(
x
0
) ,
n
=0,1,2,∙∙∙ , Koshi masalasining boshlang‘ich shartlari va differensial tenglama
orqali birin-ketin aniqlanadi. Misol sifatida
0
)
0
(
,
2
y
y
x
y
(12)
Koshi masalasi yechimini darajali qator yordamida topamiz. Dastlab
boshlang‘ich shart va berilgan differensial tenglamadan
0
)
0
(
2
0
)
0
(
,
0
)
0
(
y
y
y
ekanligini ko‘ramiz.
Endi berilgan tenglamani ikkala tomonini differensiallab va oldingi
natijalardan foydalanib,
1
)
0
(
2
1
)
0
(
2
1
)
2
(
y
y
y
y
x
y
ekanligini topamiz. Xuddi shunday tarzda davom ettirib,
2
)
(
2
)
4
(
)
2
(
)
0
(
,
,
)
2
(
)
0
(
2
)
0
(
,
2
)
0
(
2
)
0
(
n
n
y
y
y
y
y
natijalarga erishamiz. Demak, (12) Koshi masalasining yechimi
2
2
5
3
4
2
3
2
!
4
)
2
(
)
1
(
!
2
)
1
(
!
5
2
!
4
2
!
3
2
!
2
k
k
k
n
n
n
k
x
n
x
x
x
x
x
y
(13)
darajali qator orqali ifodalanadi. Bu darajali qator ham (–∞, ∞) oraliqda
yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas.
f
(
x
)
=e
x
funksiyaning Makloren qatorida
x
o‘zgaruvchini –
x
/2 bilan
almashtirishdan hosil bo‘ladigan darajali qatordan foydalanib, (13) yechimni
)
2
1
(
4
1
2
x
e
y
x
ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bu o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola
etiladi.
XULOSA
Darajali qatorlar, jumladan Makloren qatorlari juda ko‘p amaliy tatbiqlarga ega.
Bularga misol sifatida darajali qatorlar yordamida turli taqribiy hisoblashlarni
bajarish, limitlarning qiymatini aniqlash, murakkab funksiyalardan olingan
integrallarni hisoblash, elementar bo‘lmagan funksiyalarni ifodalash, differensial
tenglamalar va ular uchun Koshi masalasini yechish kabilarni ko‘rsatish mumkin.
Darajali qatorlar nazariy tadqiqotlarda ham keng qo‘llaniladi. Masalan, binomning
natural darajalari uchun topilgan natija Nyuton tomonidan binomial qator
ko‘rinishida ixtiyoriy daraja uchun umumlashtirildi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
