|
Sirt integrallari va ularni hisoblashga doir mashqlar. Skalyar va vektor maydonlar. Yo’nalish
bo’yicha hosila.Gradient. Yuksaklik chiziqlari va sirtlar Orientirlangan va orientirlanmagan sirtlar.
Vektor chiziqlar.
STOKS VA OSTROGRADSKIY FORMULALARI
)
,
,
(
z
y
x
f
V
V
XOY
1
V
2
V
S
1
S
2
S
12
1
)
,
,
(
)
,
,
(
S
S
dxdy
z
y
x
f
dxdy
z
y
x
f
)
,
,
(
z
y
x
f
S
dxdy
z
y
x
f
)
,
,
(
1
S
2
S
S
dydz
z
y
x
f
)
,
,
(
S
dzdx
z
y
x
f
)
,
,
(
S
dxdz
z
y
x
R
dydz
z
y
x
Q
dxdy
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
f
S
)
,
,
(
z
y
x
f
S
S
D
S
dxdy
y
x
z
y
x
f
dxdy
z
y
x
f
)
,
,
,
(
)
,
,
(
S
dydz
z
y
x
f
,
,
S
dzdx
z
y
x
f
,
,
dydz
z
y
z
y
x
f
dydz
z
y
x
f
D
S
,
,
,
,
,
dzdx
z
x
z
y
x
f
dzdx
z
y
x
f
D
S
,
,
,
,
,
S
OZ
0
,
,
dxdy
z
y
x
f
S
OX
0
,
,
dydz
z
y
x
f
S
OZ
0
,
,
dzdx
z
y
x
f
S
REJA
Stoks formulasi
Ostrogradskiy formulasi
Stoks formulasi.
Fazoda ushbu
(1)
(1) tenglama bilan aniqlangan
sirtni qaraylik. Uning
tekislikdagi proektsiyasi
to’plamni
(shaklni) hosil qilsin.
sirt va
shaklning chegaralovchi yopiq chiziqlarni (konturlarni) mos ravishda
va
deylik. Ravshanki,
ning proektsiyasi
bo’ladi.
Sirt tomoni va konturi yo’nalishlari uning proektsiyalari yo’nalishlari orasidagi muvofiqlik 62
chizmada keltirilgan.
Aytaylik, (1) tenglamadagi
funktsiya
to’plamda uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo’lsin.
Faraz qilaylik,
sirtda
funktsiya aniqlangan bo’lib, u uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo’lsin. Ravshanki, bunday holda ushbu
egri chiziqli ushbu integral mavjud bo’ladi. Bunda
kontur yo’nalishning sirt tomoni bilan muvofiqligi
29chizmada ifodalangan.
Modomiki,
kontur
sirtga tegishli ekan, unda
ning nuqtalari
tenglamani
qanoatlantiradi. Binobarin,
da
funktsiya
bo’lib, u
da
berilgan ikki o’zgaruvchili funktsiyaga aylanadi. SHuning uchun
(2)
bo’ladi.
Grin formulasi (qaralsin, 93ma’ruza) dan foydalanib topamiz:
.
Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral ostidagi xususiy hosila quyidagicha
bo’lib,
)
,
(
y
x
z
z
S
XOY
D
S
D
S
D
S
D
)
,
(
y
x
z
z
D
),
,
(
'
y
x
z
x
)
,
(
'
y
x
z
y
S
)
,
,
(
z
y
x
P
P
,
)
,
,
(
x
z
y
x
P
,
)
,
,
(
y
z
y
x
P
z
z
y
x
P
)
,
,
(
S
dx
z
y
x
P
)
,
,
(
S
S
S
S
)
,
(
y
x
z
z
S
)
,
,
(
z
y
x
P
P
))
,
(
,
,
(
y
x
z
y
x
P
P
D
S
S
dx
y
x
z
y
x
P
dx
z
y
x
P
))
,
(
,
,
(
)
,
,
(
D
S
dxdy
y
x
z
y
x
P
y
dx
z
y
x
P
))
,
(
,
,
(
(
)
,
,
(
)
,
(
))
,
(
,
,
(
))
,
(
,
,
(
'
y
x
z
z
y
x
z
y
x
P
y
y
x
z
y
x
P
y
bo’ladi.
Ma’lumki,
sirtning ustki tomoni qaralganda uning normalining yo’naltiruvchi kosinuslari
,
,
bo’ladi. Bu munosabatlardan
bo’lishi kelib chiqadi. Natijada
(3)
bo’ladi.
Endi keyingi tenglikdagi ikki karali integralni avvalgi ma’ruzada keltirilgan
formuladan foydalanib ikkinchi tur sirt integrali orqali quyidagicha
(4)
yozib olamiz. So’ng bu ikkinchi tur sirt integrali uchun, birinchi va ikkinchi tur sirt integrallarini o’zaro
bog’lovchi ushbu
(5)
formulalarga ko’ra
(6)
bo’lib, bu tenglikdagi birinchi tur sirt integrallari yana (5) formulalarga binoan
(7)
bo’ladi. YUqoridagi (2), (3), (4), (6) va (7) munosabatlardan
dxdy
y
x
z
z
y
x
z
y
x
P
y
y
x
z
y
x
P
dx
y
x
z
y
x
P
y
D
S
))
,
(
))
,
(
,
,
(
))
,
(
,
,
(
(
))
,
(
,
,
(
'
S
n
2
'
2
'
'
1
)
,
(
cos
y
x
x
z
z
y
x
z
2
'
2
'
'
1
)
,
(
cos
y
x
y
z
z
y
x
z
2
'
2
'
1
1
cos
y
x
z
z
)
,
(
cos
cos
'
y
x
z
y
dxdy
z
y
x
z
y
x
P
y
y
x
z
y
x
P
dx
y
x
z
y
x
P
D
S
)
cos
cos
))
,
(
,
,
(
))
,
(
,
,
(
(
))
,
(
,
,
(
D
S
dxdy
y
x
z
y
x
f
dy
dx
z
y
x
f
))
,
(
,
,
(
)
,
,
(
S
D
dxdy
z
z
y
x
P
y
z
y
x
P
dxdy
z
y
x
z
y
x
P
y
y
x
z
y
x
P
)
cos
cos
)
,
,
(
)
,
,
(
(
)
cos
cos
))
,
(
,
,
(
))
,
(
,
,
(
(
S
S
dS
z
y
x
f
dydz
z
y
x
f
cos
)
,
,
(
)
,
,
(
S
S
dS
z
y
x
f
dzdx
z
y
x
f
cos
)
,
,
(
)
,
,
(
S
S
dS
z
y
x
f
dxdy
z
y
x
f
cos
)
,
,
(
)
,
,
(
S
S
S
dS
z
z
y
x
P
ds
y
z
y
x
P
dxdy
z
z
y
x
P
y
z
y
x
P
)
cos
)
,
,
(
cos
)
,
,
(
(
cos
)
cos
cos
)
,
,
(
)
,
,
(
(
S
S
S
S
dzdx
z
z
y
x
P
dS
z
z
y
x
P
dxdy
y
z
y
x
P
dS
y
z
y
x
P
)
,
,
(
(
cos
)
,
,
(
,
)
,
,
(
(
cos
)
,
,
(
(8)
bo’lishi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o’xshash
sirt va unda aniqlangan
,
funktsiyalar uchun
tegishli shartlarda
(9)
bo’lishi ko’rsatiladi.
(8) va (9) tengliklarni hadlab qo’shib topamiz:
(10)
.
(10) formula Stoks formulasi deyiladi.
Stoks formulasi
sirt bo’yicha olingan sirt integralini shu sirtning chegarasi
yopiq egri chiziq
bo’yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi bog’lanishni ifodalaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
