|
II tartibli differensiali
deb ataladi va
d
2
f
kabi belgilanadi.
Agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning II
tartibli differensiali
d
2
f
mavjud va uning ta’rifi hamda to‘la differensial formulasiga asosan quyidagi
natijani olamiz:
dy
dy
y
f
dx
x
f
y
dx
dy
y
f
dx
x
f
x
dy
y
df
dx
x
df
df
d
f
d
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy
y
f
dxdy
y
x
f
dx
x
f
dy
y
f
dxdy
x
y
f
dydx
y
x
f
dx
x
f
.
Bunda argument differensiallari
dx
va
dy
o‘zgarmas son singari qaraldi hamda aralash hosilalar haqidagi
teoremadan foydalanildi.
Demak, II tartibli differensial
d
2
f
funksiyaning II tartibli hosilalari orqali quyidagicha ifodalanadi:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy
y
f
dxdy
y
x
f
dx
x
f
f
d
(16)
I tartibli
df
differensialni ifodalovchi (13) tenglikdan
f
“umumiy ko‘paytuvchini” shartli ravishda
qavsdan tashqariga chiqarib va tenglikni ikkala tomonini unga “qisqartirib”, ushbu operator belgisiga ega
bo‘lamiz:
dy
y
dx
x
d
. (17)
Izoh:
Matematik analizda operator atamasi funksiyaga funksiyani mos qo‘yadigan akslantirishni
ifodalaydi. (17) operator har bir
f
funksiyaga uning
df
to‘la differensialini mos qo‘yadi.
(17) operator orqali II tartibli
d
2
f
differensialni hisoblashni ifodalaydigan (16) formulani quyidagi
ko‘rinishda yozish mumkin:
f
dy
y
dx
x
f
d
2
2
. (18)
Umuman olganda,
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
n
-tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning
n-
tartibli
differensiali
d
n
f
mavjud bo‘lib,
d
n
f=d
(
d
n–
1
f
) rekurrent formula orqali aniqlanadi va
f
dy
y
dx
x
f
d
n
n
(19)
operator formula yordamida hisoblanadi. Nyuton binomi formulasidan (I bob,§3, (5) formula) foydalanib,
(19) operatorli tenglikdan
n-
tartibli
d
n
f
differensialni
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning
n
-tartibli hosilalari orqali ifodalovchi ushbu formulaga ega bo‘lamiz:
k
n
k
k
n
k
n
n
k
k
n
n
dy
dx
y
x
f
C
f
d
0
. (20)
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning
n-
tartibli
d
n
f
differensiali bir o‘zgaruvchili funksiyaning
n-
tartibli
differensialiga o‘xshash vazifani bajaradi va ulardan funksiyalarning xususiyatlarini o‘rganishda va turli
masalalarni yechishda foydalaniladi.
Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi.
Sirtga o’tkazilgan urinma tekislik va normal
tenglamasi
.
IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING EKSTRЕMUMLARI
REJA
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstr
е
mumlari
.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning global ekstremumlari.
Eng kichik kvadratlar usuli.
Tayanch iboralar
* Lokal maksimum
*
Lokal minimum *
Lokal ekstremum *
Ferma teoremasi
*
Kritik nuqta * Ekstremumning yetarli sharti * Ekstremumga tekshirish algoritmi
*Bog‘lanish tenglamasi * Shartli lokal maxsimum
*
Shartli lokal minimum
*
Shartli lokal ekstremum * Lagrang funksiyasi
*
Global maksimum * Global minimum * Global
ekstremum * Kuzatuv natijalarini silliqlash
*
Empirik formulalar * Eng kichik kvadratlar usuli
3.1.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari.
Berilgan
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
tekislikdagi biror
D
sohada aniqlangan bo‘lib,
M
0
(
x
0
,
y
0
) bu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin.
1-TA’RIF:
Agar
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror
U
r
(
x
0
,
y
0
) atrofiga tegishli ixtiyoriy
M
(
х
,
у
) nuqta uchun
f
(
x
0
,
y
0
)≥
f
(
x
,
y
) [
f
(
x
0
,
y
0
)≤
f
(
x
,
y
)] (1)
tengsizlik bajarilsa, unda
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada
lokal maksimumga
(
minimumga
)
ega
deyiladi.
Masalan,
f
(
x
,
y
)=4–
x
2
–
y
2
funksiya
M
0
(0,0) nuqtada lokal maksimumga ega, chunki bu nuqtaning
ixtiyoriy atrofidagi
M
(
х
,
у
) nuqtalar uchun
f
(
x
,
y
)≥4=
f
(0,0). Xuddi shunday
g
(
x
,
y
)=4+
x
2
+
y
2
funksiya
M
0
(0,0)
nuqtada
g
(0,0)=4 lokal minimumga ega ekanligi ko‘rsatiladi.
1-ta’rifda
f
(
x
0
,
y
0
)≥
f
(
x
,
y
) [
f
(
x
0
,
y
0
)≤
f
(
x
,
y
)] tengsizlik faqat
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror kichik atrofida
bajarilishi talab etiladi. Bu tengsizlik, biz yuqorida ko‘rgan misoldagi singari,
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning ixtiyoriy
atrofida o‘rinli bo‘lishi shart emas. Shu sababli
f
(
x
0
,
y
0
) lokal maksimum yoki minimum deb atalmoqda.
Agar (1) tengsizlikda
x=x
0
+∆
x
va
y=y
0
+∆
y
deb olsak, uni lokal maksimum holida
0
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
f
y
x
f
y
y
x
x
f
y
y
x
x
f
y
x
f
,
lokal minimum holida esa ∆
f
≥0 ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli 1-ta’rifni funksiyaning to‘la
orttirmasi orqali quyidagicha ifodalash mumkin.
2-TA’RIF:
Agar
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror
U
r
(
x
0
,
y
0
) atrofida
z
=
f
(
x
,
y
)
funksiyaning to‘la orttirmasi uchun ∆
f
(
x
0
,
y
0
)
≤0 (∆
f
(
x
0
,
y
0
)
≥0) tengsizlik bajarilsa, unda bu funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada
lokal maksimumga
(
minimumga
)
ega deyiladi.
3-TA’RIF:
Funksiyaning lokal maksimum va minimumlari birgalikda
funksiyaning lokal
ekstr
е
mumlari
deyiladi.
2-ta’rifga asosan funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada lokal ekstremumga ega bo‘lishi uchun uning bu nuqtadagi
∆
f
(
x
0
,
y
0
) to‘la orttirmasi ∆
x
va ∆
y
argument orttimalarining turli kichik qiymatlarida o‘z ishorasini
o‘zgartirmasligi lozim.
Yuqoridagi misolda ko‘rib o‘tilgan
f
(
x
,
y
)=4–
x
2
–
y
2
va
g
(
x
,
y
)=4+
x
2
+
y
2
funksiyalar uchun lokal
ekstremumlar
f
(
x
,
y
) va
g
(
x
,
y
) ifodalari bo‘yicha bevosita topildi. Ammo murakkabroq ko‘rinishdagi
funksiyalar uchun bunday qilib bo‘lmaydi. Shu sababli umumiy holda ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal
ekstrimumlarini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin (VI
bob,§5) ko‘rilgan edi. Bu yerda
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyani ekstremumga tekshirish ham shunga o‘xshash amalga
oshirilishini ko‘ramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
