|
Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli.
Aniq integrallarni taqribiy hisoblash .
6.1. Aniq integralni ta’rif bo‘yicha hisoblash.
Biz aniq integral ta’rifi va asosiy
xossalarini o‘rgangan bo‘lsak ham, ammo hozircha faqat bitta
f
(
x
)=1 o‘zgarmas funksiyadan [
a
,
b
]
kesma bo‘yicha olingan aniq integral qiymatini bilamiz xolos. Bu yo‘nalishda yana bir misol
sifatida
f
(
x
)=
x
funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan
b
a
xdx
I
aniq integralni uning ta’rifidan foydalanib hisoblaymiz.
f
(
x
)=
x
funksiya [
a
,
b
] kesmada uzluksiz
bo‘lgani uchun u integrallanuvchi, ya’ni
I
aniq integral mavjud. Unda, ta’rifga asosan, [
a
,
b
]
kesmani ixtiyoriy ravishda kichik [
x
i–1
,
x
i
] kesmachalarga bo‘laklab va ulardan istalgan ξ
i
nuqtalarni
tanlab,
)
(
)
(
)
(
1
1
1
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
x
x
x
f
f
S
integral yig‘indini hosil etib, uning
n
→∞
,
maxΔ
x
i
→
0 bo‘lgandagi limitini topsak, bu limit qiymati
doimo bir xil bo‘ladi va
I
integral qiymatini ifodalaydi. Shu sababli biz [
a
,
b
] kesmani o‘zaro teng
bo‘lgan
n
bo‘lakka ajratamiz. Bu holda hosil bo‘lgan har bir [
x
i–1
,
x
i
] kesmachaning uzunligi bir xil
va Δ
x
i
=
h
=(
b–a
)/
n
, ularning chegaralari esa
x
i
=a+ih
,
i
=0,1,2,∙∙∙,
n
–1,
n
kabi aniqlanadi.Har bir [
x
i–1
,
x
i
] kesmachalardan ξ
i
nuqta sifatida uning chap chegarasini, ya’ni ξ
i
=
x
i–1
(
i
=1,2,∙∙∙,
n
) deb olamiz.
Bu holda integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
]
)
1
(
[
]
)
1
(
[
)
(
1
1
1
1
1
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
h
a
h
h
i
a
h
h
x
f
S
]
2
1
)[
(
]
2
)
1
(
[
n
n
a
b
a
a
b
n
n
h
na
h
.
Bu yerdan, aniq integral ta’rifi va limit xossalariga asosan,
]
1
lim
2
)[
(
]
1
2
)[
(
lim
)
(
lim
n
n
a
b
a
a
b
n
n
a
b
a
a
b
f
S
I
n
n
n
n
2
2
)
(
2
2
a
b
a
b
a
b
natijani olamiz. Demak,
2
2
2
a
b
xdx
b
a
. (1)
Bu natijaga aniq integralning geometrik ma’nosidan foydalanib ham kelish mumkin. Haqiqatan
ham, (1) aniq integral
y=x
,
x=a
,
x=b
va
y
=0 chiziqlar bilan chegaralangan
aABb
trapetsiya (73-
rasmga qarang) yuzini ifodalaydi. Chizmadan ko‘rinadiki, bu trapetsiyaning balandligi
H=b–a
,
asoslari esa
a
va
b.
Shu sababli
2
)
(
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
H
b
a
S
xdx
I
aABb
b
a
.
6.2.
Nyuton – Leybnits formulasi.
Oldingi natijalardan ko‘rinadiki, aniq integralni uning
ta’rifi, ya’ni integral yig‘indining limiti orqali topish masalasi hatto oddiy
y=x
funksiya misolida
ancha qiyinchilik bilan yechiladi. Shu sababli aniq integralni hisoblashning qulayroq, osonroq
usulini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala integral hisobning asosiy formulasi bo‘lmish
Nyuton – Leybnits formulasi orqali o‘z yechimini topadi.
у
=
f
(
х
) biror [
а
,
b
] kesmada uzluksiz
funksiya bo‘lsin. Unda
у
=
f
(
х
) bu [
а
,
b
] kesmada integrallanuvchi funksiya bo‘ladi. Bu yerdan
ixtiyoriy
x
[
а
,
b
] uchun
x
a
dt
t
f
x
Ф
)
(
)
(
(2)
aniq integral mavjud ekanligi kelib chiqadi. Bunda quyi chegara
a
o‘zgarmas, yuqori chegara
x
esa
o‘zgaruvchi deb qaralsa, unda (2) tenglik [
а
,
b
] kesmada aniqlangan biror
Ф
(
x
) funksiyani ifodalaydi
va
yuqori chegarasi o‘zgaruvchi integral
deb ataladi. Bu funksiya differensial va integral hisob
orasidagi chuqur bog‘lanishni ifodalovchi quyidagi muhim xususiyatga ega.
1-TEOREMA:
Agar (1) tenglikda
f
(
x
) uzluksiz funksiya bo‘lsa , unda
Ф
(
x
) funksiya
differensiallanuvchi va
)
(
)
)
(
(
)
(
x
f
dt
t
f
x
Ф
x
a
(3)
tеnglik o‘rinli bo‘ladi.
Izoh:
Bu teoremadan (2) tenglik bilan aniqlangan
Ф
(
х
)
berilgan uzluksiz
f
(
x
) funksiya uchun
boshlang‘ich funksiya bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, har qanday uzluksiz funksiya uchun uning
boshlang‘ich funksiyasi mavjud va uni (2) formula orqali topish mumkin ekan.
2-TEOREMA:
Agar
F
(
x
) uzluksiz
f
(
x
) funksiyaning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa,
u holda
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a
(4)
tеnglik o‘rinlidir.
Izoh:
(4) formulada
F
(
x
) sifatida
f
(
x
) funksiyaning ixtiyoriy bir boshlang‘ich funksiyasini
olish mumkin. Bunga sabab shuki,
f
(
x
) funksiyaning ixtiyoriy ikkita
F
1
(
x
) va
F
2
(
x
) boshlang‘ich
funksiyalari bir – biridan faqat biror
C
o‘zgarmas son bilan farqlanadi va
F
1
(
b
)–
F
1
(
a
)=
F
2
(
b
)–
F
2
(
a
)
bo‘ladi.
1-TA’RIF:
(4) tеnglik aniq integralni hisoblashning
Nyuton-L
е
ybnits formulasi
deyiladi.
Aniqmas va aniq integral tushunchalari bir-biriga bog‘liqmas ravishda kiritilgan edi. Aniqmas
integral
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari sinfi singari , aniq integral esa
f
(
x
) funksiyaning
[
a
,
b
] kesma bo‘yicha integral yig‘indilarining limiti singari kiritilganligini eslatamiz. Ammo bu
ikkala tushuncha orasida chambarchas bog‘lanish mavjudligi va ularning ikkalasi ham “integral”
deb atalishi bejiz emasligini ko‘rsatish uchun Nyuton – Leybnits formulasini shartli ravishda
quyidagicha yozamiz:
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
C
x
F
x
F
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
]
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
(5)
Demak, aniq integralni Nyuton – Leybnits formulasi bo‘yicha hisoblash uchun dastlab uning
chegaralarini “unutib”, uni aniqmas integral singari qaraymiz va hisoblaymiz. So‘ngra chegaralar
borligini “eslab”, aniqmas integralni hisoblangan ifodasiga
x
o‘rniga yuqori chegara
b
va quyi
chegara
a
qiymatlarini qo‘yamiz. Natijada hosil bo‘lgan sonlar ayirmasini olib, berilgan aniq
integral qiymatini topamiz. Bunda aniqmas integral javobidagi ixtiyoriy
C
o‘zgarmas sonni hisobga
olmasak ham bo‘ladi.
Misol sifatida,
f
(
x
)=
x
α
(α≠–1) darajali funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan aniq
integralni (4) Nyuton – Leybnits formulasi yordamida hisoblaymiz:
1
1
1
1
1
a
b
x
dx
x
b
a
b
a
.
Bevosita ta’rif bo‘yicha hisoblangan (1) natija bu yerdan α=1 bo‘lganda kelib chiqadi.
6.3.Bo‘laklab integrallash usuli.
u=u
(
x
)
vа
v=v
(
x
) diffеrеntsiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin.
Bu holda (
и
v
)′=
u
′
v
+
и
v
′ ekanligidan
и
v
funksiya
u
′
v
+
и
v
′ uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Shu
sababli, Nyuton – Leybnits formulasiga asosan,
b
a
b
a
uv
dx
v
u
v
u
]
[
tenglikni yozish mumkin. Bu yerdan, aniq integralning II xossasi va
u
′
dx=du
,
v
′
dx=dv
ekanligidan
foydalanib, ushbu natijalarni olamiz:
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
uv
udv
vdu
uv
dx
v
u
vdx
u
u
vd
uv
udv
b
a
b
a
b
a
(6)
Do'stlaringiz bilan baham: |
