100 лет со дня рождения

Прим. автора
). – Статья написана в 1973 г. 
–
Н.А. Ляпунова.

---

188
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
жеств, в которых были бы точно зафиксированы все возможности 
теоретико-множественных построений (система аксиом теории 
множеств Цермело, Бернайса, фон Неймана и других). 
Одновременно другой подход к основаниям математики разра-
ботал Гильберт. Его основная идея состояла в том, что математика 
должна целиком покоиться на представлении о конечном. Всё, что 
связано с понятием о бесконечном, должно быть обосновано кон-
струкциями, лежащими в области конечного. Эта точка зрения по-
лучила название финитизма. 
В этих условиях в 1915
–
1916 годах Н.Н. Лузин заинтересовался 
проблематикой теории множеств. Весьма возможно, что внешним 
поводом для этого явилось обнаружение ошибки в работе Лебега, 
который полагал, что проекция 
B
-множества есть 
B
-множество. 
К Лузину присоединились М.Я. Суслин и П.С. Александров. Они 
исправили ошибку Лебега, разработали теорию 
А
-множеств, зало-
жили основу теории проективных множеств. На почве этих работ у 
Лузина возникли глубокие и чрезвычайно существенные представ-
ления о роли бесконечного в математике.
Всё 
конечное
является непосредственно данным и в принципе 
проверяемым экспериментально. 
Понятие 
бесконечного
по самому своему существу является 
абстракцией. Априори нет уверенности в том, что абстракция бес-
конечного однозначно определена. Однако надо думать, что даже 
если существуют разные варианты абстракции бесконечного, у всех 
этих вариантов с необходимостью имеется одинаково устроенная 
общая часть, и ветвления начинаются где-то в области «более да-
леких представлений». 
Возникает задача об установлении границы, так сказать, абсо-
лютной теории множеств и ветвящейся теории множеств. У Лузина 
возникла гипотеза, касающаяся природы этой границы. Однако 
сама эта гипотеза по необходимости носила некий расплывчатый 
характер. Он полагал, что неоднозначность возникает вследствие 
отрицательных определений. Так, он считал, что глубокое отличие 
A
-множеств от 
CA
-множеств состоит в том, что 
A
-множества оп-
ределены положительным образом как проекции множества типа 
(
неразборчиво!
), тогда как 
СA
-множества определены как допол-
нения к 
A
-множествам. Он придавал очень большое значение воз-
мож ности разложения множеств в трансфинитную последователь-
ность 
B
-конституант и видел в этом возможность изгнания отри-
цательных определений при помощи трансфинитных процессов. 
В то же время, он полагал, что сами трансфинитные процессы не-
которым образом отличаются от процессов инфинитных. Они име-

---

189
О роли теоретико-множественных концепций в развитии основ математики
ют, так сказать, другую степень эффективности. С этим Лузин свя-
зывал то, что в непустом 
A
-множестве удаётся эффективно указать 
точку, а в несчётном 
A
-множестве 
–
выделить совершенное ядро, 
тогда как в случае 
CA
-множеств обе эти задачи вызывали огром-
ные трудности в связи с тем, что определение проективных мно-
жеств высших классов требует многократного использования от-
рицательных определений. Лузин полагал, что при построении 
высших классов проективных множеств степень эффективности 
постепенно падает и выделяется всё больше и больше таких задач, 
для решения которых не имеется подходящих средств. К числу та-
ких задач, в частности, он относил задачу об измеримости проек-
тивных множеств второго класса, а также задачу об установлении 
законов отделимости второго класса проективных множеств. С эти-
ми концепциями органически связано понятие резольвент. Резоль-
вентой для некоторой задачи называется множество, обладающее 
тем свойством, что установление того, что оно является пустым, 
эквивалентно одному решению поставленной задачи, тогда как ус-
тановление того, что это множество является непустым, эквива-
лентно другому решению этой задачи. 
Для целого ряда нерешённых задач теории множеств Лузин 
построил резольвенты, являющиеся проективными множествами. 
Он стремился к тому, чтобы классифицировать нерешённые зада-
чи при помощи проективного класса их резольвент. В некотором 
смысле эта классификация позволяла установить, в какой мере в 
данной задаче используются отрицательные определения.
Эти представления Лузина некоторым образом определили ис-
ходную позицию работ П.С. Новикова. С самого начала внимание 
Новикова было привлечено к установлению границы эффектив-
ного, т. е. к содержательному очерчиванию того рубежа, который 
отделяет доступные, или однозначно решаемые классическим об-
разом задачи теории множеств, от задач, не решаемых в таком 
смысле. Ему удалось существенным образом отодвинуть границу 
эффективного, предположенную Лузиным. Указание точки в не-
пустом 
CA
-множестве и законы отделимости второго класса про-
ективных множеств были получены в классическом смысле. Кроме 
того, он обнаружил, что указание
 
точки в непустом 
CA
-множестве 
не даёт возможности установить наличие совершенного ядра в не-
счётном множестве. Зато он показал, что из существования у каж-
дого несчётного 
CA
-множества конституанты, содержащей более 
одной точки, следует, что у каждого несчётного 
CA
-множества 
имеется совершенное ядро. Здесь доступные задачи теории мно-
жеств оказываются предельно близкими к недоступным. 

---

190
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
Таким образом, если раньше «критическими» задачами теории 
множеств являлись проблема континуума (ещё со времени Канто-
ра) и аксиома Цермело (с начала XX века), то в 30-х годах выясни-
лось, что к числу таких же критических задач следует отнести зада-
чи о построении совершенного ядра в несчётных 
CA
-множествах, 
об измеримости проективных множеств второго класса и о законах 
отделимости для третьего класса проективных множеств, перед ко-
торыми остановилась дескриптивная теория множеств. Наконец
, 
к 
числу этих задач можно было отнести известную проблему Сусли-
на
2
. Именно в таком виде рисовалась общая картина теории мно-
жеств в конце 30-х годов после работ П.С. Новикова. К тому вре-
мени Лузин от задач теории множеств отошёл, идейное руководство 
областью перешло к П.С. Новикову. Всё больше складывалось 
впечатление, что для решения перечисленных здесь задач у клас-
сической теории множеств нет средств. Все попытки подхода к 
этим задачам, исходя из классических соображений, неизменно 
срывались. Всё говорило о том, что теория множеств настойчиво 
требует существенно новых подходов. 
Здесь первый определяющий шаг сделал Курт Гёдель. Он при-
соединил к системе аксиом теории множеств аксиому конструк-
тивности, показал, что если исходная система непротиворечива 
(что не установлено), то она остаётся непротиворечивой и после 
присоединения новой аксиомы, и установил, что в расширенной 
системе аксиом проблема континуума получает положительное ре-
шение, и оказывается справедливой аксиома Цермело. Кроме того, 
он заявил, что в построенной им системе существуют неизмери-
мые проективные множества второго класса и множества без со-
вершенного ядра. Вскоре появилось подробное изложение двух 
пер вых вопросов, однако, два других вопроса в течение более 
10 лет подробно изложены им не были. 
П.С. Новиков очень высоко оценил работы Гёделя и сущест-
венным образом заинтересовался его подходом. Уже после войны 
он получил полное доказательство утверждений о том, что в систе-
ме Гёделя существуют неизмеримые 
B
-множества