Решение некоторых краевых задач Book · September 018 citations reads 2,702 authors, including

 
1.2. Chekli ayirmalar usuli haqida tushunchalar. 
Parabolik tipdagi issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini yechishning bir qator 
analitik va taqribiy usullari mavjud. Analitik usullar uchun eng muhim kriteriya bu 
ularning nochiziqli chegaraviy masalalarni yechishga qoʻllanilishi mumkinligi. Agar 
usul nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish uchun ishlab chiqilgan boʻlsa, u holda 
uni chiziqli masalalar uchun qoʻllash hech bir qiyinchilik tugʻdirmaydi, aksi esa koʻp 
hollarda oʻrinli emas. 
Issiqlik oʻtkazuvchanlik nazariyasining chiziqli chegaraviy masalalarini yechish 
uchun qoʻllaniladigan usullar: 

---

8 

 Klassik usullar
: oʻzgaruvchilarni ajratish usuli (Furye usuli); manba funksiya-
lari (Grin funksiyasi) usuli; issiqlik potensiallari usuli; 

 Integral akslantirishlar usullari
: cheksiz limitlarda; chekli limitlarda (bularda 
integral akslantirish yadrosi jismning shakli va chegaraviy shartlarga qarab 
har xil tanlanadi); 
Issiqlik oʻtkazuvchanlik nazariyasining nochiziqli chegaraviy masalalarini 
yechish uchun qoʻllaniluvchi usullar: 

 Variatsion usullar
: Rits usuli; L.V.Kantorovich usuli; Treffts usuli; Bio usuli; 
Kurant usuli; Leybenzon usuli; 

 Chiziqlilashtirish usullari
(nochiziqli chegaraviy masalani chiziqliga 
keltirish): oʻrniga qoʻyish usullari (algebraik va integral); chiziqlilashtirish 
uslublari; ketma-ket yaqinlashishlar usullari; qoʻzgalishlar usuli (kichik para-
metr usuli); 

 Proyeksion usullar
: kollokatsiya usuli; Bubnov-Galyorkin usuli; momentlar 
usuli; integral usullar (integral issiqlik balansi, funsional toʻldirishlarni 
oʻrtalashtirish); 

 Chegaraviy masalani boshqa turdagi tenglama va masalalarga keltirish usul-
lari
: nochiziqli chegaraviy shartlar bilan berilgan chegaraviy masalalarni unga 
ekvivalent boʻlgan nochiziqli funksional tenglamalarga, temperaturadan 
bogʻliq boʻlgan uzatish koeffisiyenti bilan berilgan chegaraviy masalani 
nochiziqli integral tenglamalarga, issiqlik oʻtkazuvchanlikning chegaraviy 
masalasini oddiy differensial tenglamali chegaraviy masalaga keltirish. 
Keltirilgan usullarning bu klassifikatsiyasi shartli, chunki ba’zi usullar bir vaq-
tning oʻzida bir necha usullar guruhlariga kirishi mumkin, ba’zilari esa ushbu klassi-
fikatsiyaga kirmay qolmoqda.
Endi bu usullardan ba’zilarining gʻoyasiga toʻxtalib oʻtaylik. 
Issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini oddiy differensial tenglamalar yoki ularn-
ing sistemasiga keltiruvchi usullar:
-
integral akslantirishlar usuli;
-
oʻzgaruvchilarni ajratish usuli (Furye usuli);
-
koordinat almashtirishlar usuli va hokazo.
Issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini sonli (taqribiy) yechish usullari:
-
Furye qatoriga yoyish usuli (bu usul chiziqli masalalarga qoʻllaniladi);
-
Rits va Galyorkin usullari (bu usullarni ba’zi nochiziqli masalalarga ham 
qoʻllash mumkin);
-
ayirmali usul (nochiziqli masalalar holida iteratsion deb ataladi; yaxshi yaqin-
lashuvchi iteratsion jarayonlarni qurish juda murakkab, ammo koʻp hollarda bu 
issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini yechishning yaqona uslubi hisoblanadi);

---

9 
-
polinomial sirtlar yordamida yechimni approksimatsiyalashga asoslangan usul-
lar;
-
Monte-Karlo usuli (fizik sistemaning tabiati murakkabligi sababli boshqa usul-
lar bilan yechib boʻlmaydigan masalalar uchun, masalan, koʻpayuvchi sistema-
da reaksiya neyron zanjiri kabi); 
-
eksperiment tasodifiy sonlardan va elementar jarayonlar uchun ma’lum boʻlgan 
ehtimollik qonunlaridan foydalanib EHMda modellashtiriladi. 
Qoʻzgʻalishlar (chiziqlilashtirish) nazariyasi usuli dastlabki nochiziqli masalani 
uning approksimatsiyalovchi chiziqli masalalari ketma-ketligiga keltirish imkonini 
beradi. Grin funksiyasi usuli mazmuniga koʻra boshlangʻich va chegaraviy shartlar 
sodda manbalar sistemasiga almashtiriladi va masala ana shu manbalarning har biri 
uchun yechiladi. Integral tenglamalar usulida esa issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi 
integral tenglamaga keltiriladi. Variatsion usullarda esa xususiy hosilali tenglamalar 
oʻrniga biror minimallashtirish masalasi yechiladi, bunda biror ifodani minimumga 
keltiruvchi funksiya dastlabki tenglamaning yechimi boʻladi. Xos funksiyalarga tar-
qatish usuli qoʻllanilganda yechim xos funksiyalar boʻyicha qator koʻrinishida izla-
nadi, bunda issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi uchun dastlabki masalaga mos 
keluvchi xos qiymatlar masalasi deb ataluvchi masala yechimi topiladi va hokazo. 
Mos chegaraviy va boshlangʻich shartlari bilan berilgan (1.1) tenglamani 
EHMning imkoniyatlaridan foydalanib sonli yechamiz. Masalaning sonli yechimi deb 
jadval koʻrinishida olingan sonlardan iborat yechimga aytiladi. 
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishda asosan chekli ayirmalar 
usuli qoʻllaniladi. Chegaraviy masalalarni yechishning chekli ayirmalar usuli gʻoyasi 
juda sodda va bu uning nomlanishidanoq tushunarli: differensial tenglamadagi hosila-
lar oʻrniga ularning chekli-ayirmali approksimatsiyasidan foydalaniladi. Differensialli 
chegaraviy masalaning diskret approksimatsiyalarini qurishda ikkita maqsadni (balki 
ular bir biriga zid boʻlishi ham mumkin) bir-biri bilan bogʻlash lozim: approksimatsi-
yaning yaxshi sifati va algebraik sistemaning olingan samarali ustivor yechimi. 
Parabolik tipdagi issiqlik oʻtkazuvchanlik masalasi uchun chekli ayirmalar usu-
lini qoʻllashda qattiq jism tugunlar birikmasi koʻrinishida ifodalanadi. (1.1) differen-
sial tenglamaning xususiy hosilalarini chekli ayirmalar bilan approksimatsiyalab (al-
mashtirib), toʻr har bir tugunining lokal xarakteristikasi sifatidagi temperaturani 
aniqlash uchun chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil boʻlgan 
sistema yopiq emas, ularning yopiqligini ta’minlash uchun chegaraviy shartlarning 
ayirmali ifodalaridan foydalaniladi. Natijada EHM yordamida sonli usullar bilan 
yechiladigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. 
Quyida issiqlik oʻtkazuvchanlikning chiziqli masalalarini qaraymiz.