|
Yechish.
Yuqorida keltirilgan algoritga asoslanib, tenglamani yechish jarayonini
quyidagi hisob jadvali ko‘rinishida yozamiz:
n
a
n
b
n
f
(
a
n
)
f
(
b
n
)
x
n
f
(
x
n
)
(
b
n
–a
n
)/2
0
–3
–2
–3
1
–2,5
0,125
0,5
1
–3
–2,5
–3
0,125
–2,75
–1,11
0,25
2
–2,75
–2,5
–1,11
0,125
–2,625
–0,42
0,125
3
–2,625
–2,5
–0,42
0,125
–2,5625
–0,129
0,0625
Jadvalga ko‘ra ildiz
x
= –2,5625
0,0625 yoki buni yaxlitlasak, u holda
x
= –2,6
0,1.
Mashqlar
Quyida berilgan
f
(
x
)=0 ko‘rinishdagi tenglamalarni kesmani teng ikkiga bo‘lish
usuli bilan yeching (bunda
a
,
b
,
c
,
d
,
parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali
turli variantlar hosil qilishing‘iz mumkin):
1.
0
/
2
cx
x
b
a
,
a
= 1.05;
b
= 0.1;
c
= 2.03;
= 10
-3
.
71
2.
0
2
2
bx
x
a
,
a
=1.23;
b
= –3.14;
= 4
10
-5
.
3.
0
3
d
c
a
x
b
x
,
a
= 0.1;
b
= 2.23;
c
= 2;
d
= –1.03;
= 2
10
-4
.
4.
0
)
(
5
bx
a
x
,
a
=0.29;
b
= 2;
= 3
10
-4
.
5.
0
)
(
2
bx
e
a
x
,
a
= –0.4;
b
= 0.53;
= 10
-4
.
6.
0
cos
/
bx
c
bx
a
,
a
=2.07;
b
=1.19;
c
=1.13;
=2
10
-5
.
Izoh:
Dastlab
f
(
x
) funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple,
Matlab, Mathcad, Mathematica) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar
yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.
Vatarlar usuli (proporsional bo‘laklar usuli).
Usulning mazmuni.
Quyidagi shartlarning bajarilishini talab qilamiz:
f
(
x
) funksiya o‘zining
f
(
x
) va
f
(
x
) hosilalari bilan [
a,b
] kesmada uzluksiz;
funksiyaning
f
(
a
) va
f
(
b
) qiymatlari kesmaning oxirgi nuqtalarida har xil
ishorali, ya’ni
f
(
a
) ·
f
(
b
) < 0;
har ikkala
f
(
x
) va
f
(
x
) hosilalar [
a,b
] kesmaning barcha nuqtalarida o‘z ishor-
asini saqlab qoladi (berilgan [
a,b
] kesma
f
(
x
) funksiya hosilasining o‘z ishorasini
saqlashi bu shu funksiya monotonligining yetarli sharti).
Bulardan foydalanib, 2.16,
a
-rasmga asosan, dastlab
A
(
a
,
f
(
a
)) nuqta qo‘zg‘almas,
x
0
=b
– nolinchi yaqinlashish,
A
(
a
,
f
(
a
)) va
B
(
b
,
f
(
b
)) nuqtalarni tutashtiruvchi
AB
vatarning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasini
x
1
– birinchi yaqilashish deb qabul
qilamiz. Keyingi yaqinlashishlarni hisoblash uchun
f
(
x
1
) qiymatni hisoblaymiz va uni
f
(
a
) va
f
(
b
) qiymatlar bilan taqqoslaymiz. Hosil bo‘lgan [
a
,
x
1
] va [
x
1
,
b
]
intervallardan chetlarida
f
(
x
) funksiya har xil ishorali bo‘lganini tanlaymiz, chunki
aynan ana shu intervalda izlanayotgan
x
ildiz yotadi. Yuqorida aytilgan uslubni ana
shu intervalga qo‘llab, keyingi yaqinlashishni (
x
2
nuqtani) topamiz. Keyingi
yaqinlashishlarda funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalari intervallarda o‘z
ishorasini saqlaydi, deb o‘suvchi ketma-ketlikni tashkil etuvchi va yuqoridan
x
qiymat bilan chegaralangan barcha
x
1
,
x
2
, ... yaqinlashishlarni topamiz. Natijada
x
x
n
n
lim
. Ketma-ket yaqinlashishning formulasini chiqarish uchun
x
n
dan
x
n
+1
ga
o‘tishni qaraylik. Bu holda
B
n
va
B
nuqtalardan o‘tuvchi
B
n
B
vatar tenglamasini
tuzamiz:
n
n
n
n
x
a
x
x
x
f
a
f
x
f
y
)
(
)
(
)
(
.
Agar bu tenglamada
y
(
x
n
+1
) = 0 desak, u holda undan
x
n
+1
had topilad.
Bularga asosan umumlashgan quyidagi to‘rtta holat bo‘ladi:
72
a
)
b
)
2.16-rasm. Proporsional bo‘laklar usuli (vatarlar usuli)ning
har xil hollari uchun sxemalar.
a
) Agar [
a,b
] kesmada
A
(
a
,
f
(
a
)) nuqta qo‘zg‘almas va
f
(
x
) funksiya botiq va
kamayuvchi (
0
)
(
,
0
)
(
x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
a
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik
x
0
=b
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
a
x
a
f
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n
(
n
=0,1,2,…) (5.2)
chegaralangan va monoton kamayuvchi:
a
<
x
<…<
x
n
+1
<
x
n
<…
x
1
<
x
0
=
b
.
b
) Agar [
a,b
] kesmada
B
(
b
,
f
(
b
)) nuqta qo‘zg‘almas va
f
(
x
) funksiya botiq va
o‘suvchi (
0
)
(
,
0
)
(
x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
b
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik
x
0
=a
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
n
n
n
n
n
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x
(
n
=0,1,2,…)
chegaralangan va monoton o‘suvchi:
a= x
0
<
x
1
<…<
x
n
<
x
n+1
<…<
x
<
b
.
c
) Agar [
a,b
] kesmada
A
(
a
,
f
(
a
)) nuqta qo‘zg‘almas va
f
(
x
) funksiya qovariq va
o‘suvchi (
0
)
(
,
0
)
(
x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
a
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik
x
0
=b
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
a
x
a
f
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n
(
n
=0,1,2,…)
chegaralangan va monoton kamayuvchi:
a
<
x
<…<
x
n
+1
<
x
n
<…
x
1
<
x
0
=
b
.
d
) Agar [
a,b
] kesmada
B
(
b
,
f
(
b
)) nuqta qo‘zg‘almas va
f
(
x
) funksiya qovariq va
kamayuvchi (
0
)
(
,
0
)
(
x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
b
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik
x
0
=a
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
n
n
n
n
n
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x
(
n
=0,1,2,…)
chegaralangan va monoton o‘suvchi:
a= x
0
<
x
1
<…<
x
n
<
x
n+1
<…<
x
<
b
.
Endi bu to‘rtta holatni umumlashtiramiz:
1) agar kesmaning qaysi bir chetida
f
(
x
) funksiya va uning
f
(
x
) ikkinchi hosilasi
bir xil ishoraga ega bo‘lsa, o‘sha chetki nuqta qo‘zg‘almas deb olinadi;
73
2) agar
x
ildizning qaysi tarafida
f
(
x
) funksiya o‘zining
f
(
x
) ikkinchi hosilasiga
qarama qarshi ishoraga ega bo‘lsa,
x
n
ketma-ket yaqinlashishlar o‘sha tomondan
x
ildizga yaqinlashadi.
a
)
b
)
2.17-rasm. Vatarlar usulining geometrik interpretatsiyasi:
a
)
0
)
(
)
(
x
f
x
f
;
b
)
0
)
(
)
(
x
f
x
f
.
Iteratsion jarayonning tugallanishi ikkita qo‘shni
x
n
va
x
n
-1
iteratsiyalarning
hisob hatijalari bo‘yicha
hisobni tugallash kriteriyasini
beradi, ya’ni bu iteratsion
jarayon ushbu
x
n
+1
–
x
n
<
shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi va
x
n
+1
=
x
yoki
x
n
=
x
yechim deb olinadi, bu yerda
– berilgan limitik (chegaraviy) absolyut xato.
Usulning qulayliklari
: usulning yaqinlashishi kafolatlangan; oraliqni teng ikkiga
bo‘lish usuliga qaraganda kamida ikki yoki uch marta tezroq yaqinlashishni beradi.
Usulning kamchiliklari:
agar
a
dan
b
gacha bo‘lgan kesmada umuman ildiz
mavjud bo‘lmasa yoki unda bir nechta ildizlar mavjud bo‘lsa, u yechimni izlash vaqti
cheksizga yaqinlashishi mumkin; agar
f
(
x
) funksiya grafigi [
a
,
b
] kesmada yetarlicha
yotiq bo‘lsa, u holda
f
(
a
) –
f
(b) farq katta bo‘ladi va hisoblashlarda xatolik ko‘payadi,
bunday holda keyingi hisoblashlarda dixotomiya usuliga o‘tgan ma’qul.
74
Usulning hisob algoritmi
:
1. [
a
,
b
] kesmani va
aniqlikni berish.
2. Agar
f
(
a
) va
f
(
b
) bir xil ishorali yoki
f '
(
a
)
va
f '
(
b
) har xil ishorali bo‘lsa, tenglama il-
dizni topish mumkin emasligini bildirish.
3. Boshlang‘ich yaqinlashishni va navbatdagi
yaqinlashishning iteratsion hisob formula-
sini yuqoridagi to‘rtta holatdan biri bo‘yicha
tanlash.
4. Hisoblashlarni tanlangan iteratsion hisob
formulasida bajarish.
5. Aniqlikni baholash:
n
n
x
x
1
. Agar bu
shart bajarilsa, ildiz deb
x
=
x
n
+1
ni qabul
qilish va tamomlash, aks holda 4-qadamga
o‘tish.
Usulning
blok-sxemasi
2.18-rasmda
tasvirlangan. Dasturda cheksiz takrorlanishlar
kuzatilmasligi uchun funksiya grafigining
qovariq yoki botiqligini (2.17-rasm) va
iteratsiyalar sonini nazorat qilish maqsadga
muvofiq. Shunday qilib, vatarlar usulidan
foydalanishda ushbu qoidaga amal qilish
maqsadga muvofiq: kesmaning qaysi chetida
funksiyaning ishorasi uning ikkinchi tartibli
Do'stlaringiz bilan baham: |
