Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

3D ЮЗ ТАСВИРИНИ ТАНИБ ОЛИШДА СИРТЛАРНИ ТАҚҚОСЛАШ МАСАЛАСИ 
 
М.Т.Тўхтасинов, М.Х.Атаханов (ТАТУ ҳузуридаги ДМ ва АДМЯМ, к.и.х.) 
 
Ҳозирги кунда тасвирдаги объектларнинг уч ўлчовли (3D) шаклини яратиш ва таниб 
олиш билан боғлиқ бўлган илмий – тадқиқот ишларига катта эътибор қаратилмоқда. 
Хусусан, 3D юз тасвирини моделлаштириш ва уларни таққослаш масаласи билан дунё 
олимлари шуғулланмоқдаки, унда аниқлик даражаси янада юқори бўлиши таъкидланади. 
Объект сирти ҳақидаги уч ўлчовли маълумотларни уч ўлчовли координаталар билан 
берилган дисрект нуқталар билан ифодалаш мумкин. Бунга мисол сифатида юзни ўч 
ўлчамли нуқталар тўплами билан берилган моделини кўрсатиш мумкин (1-расм). Бу 
нуқталар асосида тасвирланган сиртни қандайдир бир дискрет тўпламда берилган икки 
ўлчовли функция сифатида қараш мумкин (2-расм). Бу ҳолда объект сирти уч ўлчамли 
нуқталар тўплами билан берилган дейилади. Агар 
S
сирт билан кесишган шундай бир 
z
ўқи 
мавжуд бўлсаки, унга параллел бўлган ҳар қандай ўқ сиртни фақат бир нуқтада кесиб ўтса, 
у ҳолда 
S
сирти бир қийматли деб атайдилар. Шундай қилиб, бир қийматли сиртни тасвир 
текисликдаги нуқталарда аниқланган ва 
w
ўқига параллел жойлашган кесманинг 
баландлигини (узунлигини) характерловчи функция сифатида қараш мумкин. Маълумки, 
ҳар қандай сиртни декарт координата тизимида берилган кичик элементларни тўплами 
сифатида тасвирлаш мумкин (3-расм). 

---

299 
1-расм. Ўч ўлчамли объектнинг нуқталар тўпламидан иборат модели. 
2-расм. Бир қийматли сиртни текислидаги тўрнинг тугунларида берилган баландлик 
функцияси сифатида тақдим этиш. 
3-расм. Декарт координата тизимида берилган дискрет сиртнинг энг кичик элементи. 
Маълумки, бир қийматли сиртларни моделлаштириш учун уларни тақдим этишда 
асосан икки усулдан фойдаланилади: 
-
регуляр (тизимлаштирилган) тўрларда (сеткаларда) сиртни бериш; 
-
регуляр бўлмаган (хаотик) тўрларда (сеткаларда) сиртни бериш. 
Икки ўлчамли тўрни регуляр деб атаймиз, агар уни қирралари ўзаро тенг 
фигураларни ҳосил қилса. Регуляр тўрнинг тугунлари тартибланган аниқ бир тузилмага эга. 
Ҳар бир тугуннинг координатаси 
(i ∙ dx, j ∙ dy)
бўлиб, 
dx, dy
– тўрни 
x
ва 
y
ўқи бўйича 
қадами 
(dx, dy⁡ ∈ R)
. 
Фойдаланишда регуляр тўрлар содда бўлиб, уларни сақлаш учун катта ҳажмдаги 
хотира талаб қилинмайди. Уни тугунлари координатасини ошкор кўринишда сақлаш талаб 

---

300 
этилмайди, чунки уларни ҳисоблаш мумкин. Аммо у ёки бу масалада етарли аниқлик билан 
сиртни аппроксимация қилишга эришиш учун регуляр тўрдан фойдаланилганда 
ячейкаларни (чегараларни) оптимал ўлчамини танлаш муаммоси пайдо бўлади. Тўрнинг 
қадамини танлаш энг катта градиентга эга бўлган сирт элементларига мос ҳолда, яъни талаб 
қилинган энг кичик қадамни ҳисобга олган ҳолда амалга оширилади. Бу ҳолда катта 
бўлмаган градиент соҳаси учун ҳам, яъни етарли катта қадам билан ҳам, зарур аниқликни 
таъминлаш мумкин бўлган ҳолда кичик қадамлар тайинланади. Бундай ҳолларда кичик 
қадамлар ҳисоблаш ҳажмининг ортиб кетишига олиб келади. 
Сиртларни таққослаш учун регуляр тўрлардан фойдаланиш умумий тўрнинг ҳар бир 
тугунида ҳар икки сирт учун улар баландликларининг қийматлари маълум бўлишини 
назарда тутади. Бунда сиртларнинг ҳар бир оралиқ нуқтасида баландлигини қайта 
ҳисоблаш учун интерполяция усулларидан фойдаланишга зарурат йўқ. Аммо, энг яхши 
сиртларга мос келувчи қидиришда (яъни мослаш масаласини ҳал қилишда) регуляр 
тўрлардан фойдаланиш шундай қайта ҳисоблашни талаб қилади. Чунки бошланғич регуляр 
тўр ва координата тизимини силжитиш ва буриш натижасида олинган уни 
трансформацияси ҳар доим ҳам регуляр тўр бўлавермайди. 
Регуляр бўлмаган тўрни норегуляр деб атайдилар. Норегуляр тўрда регуляр 
тартибланган тузилма бўлмайди ва тўр тугунлари ихтиёрий ҳолда жойлашади. 
Одатда сиртларни норегуляр тўрлардан фойдаланиб моделлаштиришда Делопни 
триангуляцион тўрлари ишлатилади.