Ozbekiston respublikasi oliy va

Ta’rif. 
Kasr ratsional ifodadagi о ‘zgaruvchilarning та ’noga ega 
bo*ladigan qiymatlari o ‘zgaruvchilarning qabul qiladigan qiymatlari 
deyiladi.
2 x - y  
11.У-2Х
Masalan, 
— kasr ratsional ifodadagi x va у laming
qabul qiladigan qiymatlari x=0, va y=0 dan boshqa barcha son 
qiymatlardan iboratdir. Agar x va у о‘zgaruvchilardan biri nol qiymatini 
qabul qilsa, kasrning maxraji nol bo‘ lib, o'zining ma’nosini yo‘ qotadi, 
chunki har qanday sonni nolga bo‘lish mumkin emas.
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirishdagi asosiy vazifa berilgan 
ifodaning surat va maxrajlarida turgan ko'phadlami ayniy almashtirishlar 
bilan bir hadlar ko'rinishiga keltirishdan iboratdir.
128

---

Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirishdan oldin 
0
‘ qituvchi 
kasr va ular ustida bajariladigan to ‘ rt amalga doir sonli misollar dan 
namunalar k oisatib, so‘ ngra esa harfiy ifodalar qatnashgan kasrlar 
ustida bajariladigan ayniy almashtirishlarni k o ‘ rsatishi maqsadga 
muvofiqdir.
, 
4
2 
1 
2 5 
1 3 
10 + 3 
13
1
. a) - + - = ---- ■
+ ---- = --------= — ;
’
3 
5 
3-5 
5-3 
15 
15
b) x t 
у - Х У
 
1
 
y a _ xc 
+ 
y a ' 
а 
с 
а с 
с a 
ca
2
. a)
4 
1
4 -9
1-7 
36 
7 
3 6 - 7
29
7 
9 “ 7-9 
9-7 
63 
63 "
63 
~ 6 3 ’
a 
c 
a d
c d _ ad - c b  
) b 
d ~ ~ b ~ d + 7 ~ b ~
ad 
’
5 3 _ 5 3
5 
а с 
ac
3 a > 6 4 = (T~4 ~ 8 ’ 
b) 
b 'd = b d ;
л 
\
Z - 2 8 - Z
36 _ 4 _ ,
a 
с 
a d 
ad
4* a) 9* 36 
9 28 ~ 4 
’ 
b) V
d ~ ~ b '~ c ~ T c '
Yuqorida o'xshash misollarni ko‘ rsatgandan so‘ ng o'qituvchi yana 
bir ayniy almashtirishning mazmunini quyidagicha tushuntirishi lozim. 
Har qanday ayniy almashtirishning maqsadi misol yoki masalani yechish 
uchun berilgan matematik ifodani eng sodda yoki qulay holatga keltirib 
hisoblashdan iboratdir.
_ 
. , 
a2 - 25 
a 
a + 5
l-misol. 
-
-----
5
— ------- =------ ifodani soddalashtiring.
a + 3 
a2 + 5a 
a2 + 3a
Y e c h i s h :
?2 - 25 
a 
= a2 - 52 
a 
_ ( a - 5 ) ( a + 5) 
a 
a -  5, 
a + 3 
a2 + 5a 
a + 3 
a(a + 5) “
( a + 3) 
a(a + 5) ” e + 1 ’
0 - 5
a + 5 _ 
- 5
a + 5 
(f l- 5 ) a
<3
+ 5
1)
2)
<2
+ 3 
я
2
+3д 
fl + 3 
д (д + 3) 
(я + 3)д 
я (а + 3)
a2 - 5a - a - 5
_ a
2
-
6a
- 5
д(я + 3) 
д(д + 3)
9 - S. Alixonov
129

---

2-misol. (
x 2 -  5xy 
x 2 + 5xy 
x 2 + у2
Y e c h i s h :
| \ 
------ ------- — ------ • • ---- ^ 
‘ --------
} x 1 - 5xy 
x 2 + 5xy 
x( x - 5y) 
x( x + 5^)
5x - y  
5x - y _ 5х + у 
5 j c - j
(5x + y )(x + 5y) |
( 5 x - y ) ( x - 5 y )
x( x -  5 j)(x + 5j>) 
x{x + 5y)(x ~ 5y)
_ 5x2 +xy + 25xy + 5у2 + 5хъ~ xy - 25xy + 5y2 
x{x + 5)(x - 5y)
10x2 + lOy2 
x(x + 5 y )(x - 5 y ) ’
10x2 - 10y2 
x2 ~25,y2 _*4
2) x(x + 5 y )(x - 5 y ) 
x 2 + y 2
ю (х 2 +)>2) 
( x - 5 ) ( x + 5y) _ 
10 
x(x + 5y)(x - 5 у) 
x 2 + у2 
X
M U STAQ IL YECHISH UCHUN M ISO LLAR
1. (2x + 1-----: (2x -
— ). 
Javobi: ~2x.
1 -2 x
2л: - I
Javobi: ----- .
1 - a
Javobi: 1,5.x.
Javobi: ---- - .
a + 2
5. ( j 2 ‘ 4) (
У + 2
y - 2
Javobi: 
y = l
130

---

„ 
t 
, 
2ab . .a - b
b4
6. (a + b ------- - ) . (------ + —). 
Javobi: 
a.
a + b
a + b
a
1 
wi2
1. (m + 1 — — -— ) : ( m ------ ). 
Javobi: -m.
1 - m
m -1
8
.
x - 2 у 
1 
x + 2y
x + 2y 
x2 - A y 2 (2y - x ) 3
(x + 2yy 
x 2 - 2xy
4y2 
' 
Javobi:
9. ( 2a _
I 0!...... , : ( 
? « 
+ _ L ). Javobi: 2 £ * z i 5 l
2a + b 
4a + 4ab + b 
4a - b
b -2 a
2a+ b
a - 1 
1 - 3a + a2 
1 
3a + ( a - l ) 2 ~ 
a3 - l
~~a~-\
10
.
a2 - I
T - д
Javobi:
a +1
(a2 +a + \)(a2 -1)
/ 1 
3 
3 
ч / 
2x - L 
H<(— Г----з— 7 + 
~2
------- r) (•*------- r)- 
Javobi: I.
X + l 
XJ +1 
X — X + 1 
X + l
i', / 
ть 
. , 
lab 
f 
2a
12, (a + 2b+ 
(a ------ + 
Javobi:
a - 2 b
a + 2b 
a - 2 b '
13. a2 - b 2 - c 2 + 2be : ---- -— :. 
Javobi: a2 ~ (b + c)2.
a + b + c
_  /5x2 - 15xy 
3xy + 9y2 
4 , /5 
34 
xy
14. ^ 
2
л 2 
“ 1 
^ 
I T T ' ‘ 
Javobi: 
r - -
x + 9 jr 
* + 6xy + 9y 
У 
x
x + 3y
, 
4a2 - 6ac 
_ 
бде + 9c2 
. 
6a + 9c 
3
4a2 - 6ac + 9c2 
4a2 + 6ac + 9c2 
4a2 + 9c2 ^avo^- 2 a - 3 c '
16. (* -
+ -У) ’ (x + 
~ 
Javobi: x2 — у2.
17. (a -  
+1) : (1 - ~ —). 
Javobi: —a.
1 - a 
1- a
131

---

18. <*b +
ab 
a + b
a + b 
a - b
- a - b
Javobi:
ab
гУ ~xy
19. ( ^ - ^ - - x y + y < ) ....~--- +
20
.
x - y
x + y
a - b  
Javobi: 
—xy— 1.
(2a - b)1 
4a2 - b2 
(2a + b)
4 a2 + 4ab + b2 
16 a
21./" 0\2 ' 
( c - 2 )
с + 2У 
( с -  2)2 
с2 -  4
22
.
25
я + 5a + 25 
5 - а 
а -125
Javobi:
2 ■
Javobi:
( 2а- b )  
4(с + 2):
Зс2 +4
2о 
2о3 + 10аМ ( ъ .  13f l -a2 - 3 0 4 
д - 5 +
Javobi:
25
а2 + 5а + 25
3-§. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish
Agar berilgan matematik ifodada irratsional ifoda qatnashgan 
bo‘ lsa, ayniy almashtirishlar orqali irratsional ifodani ratsional ifoda 
ko‘ rinishga keltiriladi va u hisoblanadi. Irratsional ifoda bu ildizlardan 
yoki butun son b o ‘ lmagan ratsional ko‘ rsatkichli darajadan tashkil 
topgan algebraik ifodadir. Shuning uchun irratsional ifodaga quyidagicha 
ta’ rif berilgan.
T a ’ rif. Agar berilgan algebraik ifodada ildiz chiqarish amali 
qatnashsa, bunday ifoda irratsional ifoda deyiladi.
Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish orqali ratsional ifoda 
ko‘ rinishiga keltirish uchun asosan ildiz ostida qatnashayotgan birhad 
yoki ko‘ phadni ildiz ostidan chiqarish, imkoniyati boricha maxrajni 
irratsionallikdan qutqarish, nom a’ lum o ‘ zgaruvchilar kiritish orqali 
berilgan irratsional ifodani ratsional ifoda ko‘ rinishiga keltirish kabi 
ishlar qilinadi.
132

---

Bundan tashqari, o'quvchilarga sonning arifmetik ildizi va uning
kvadrat ildizi hamda irratsional ifodalarning xossalari kabi tushunchalar
tushuntirib o ‘tilib, so‘ngra quyidagi ko‘rinishdagi misollami yechish
maqsadga muvofiqdir.
1-misol.
1
1
л/5-л/З 
V3-л/5
Y e c h i s h .
1
ni hisoblang.
1 
1
+
■ J s -y f i
-Уз->/5 
V 5-V 3 
- J s S
S
- Л
2 ( ^ + ^ )
Ц -Я + Л )
j -
к
~ ( S - S ) { S + S ) ~
 
• •
5 - 3
2-misol.
4a
 
3 a V ?
4a*
2 + 
4 
~Ja
■\-ц
ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h .
n
—
3a4a* _ 4a* _ 4a
 
3
a^la4a
_
4a* a _
2 
4 
4a 
2 
4 
4
a
4a
 
3
аъ4а 
a14a 
24а+Ъаъ4a - a4a 
4a
 
- 3 
.
----------- ------------ = ~
- e*
2) 
^ - ( 2 + За3 - a ) : (-Т а ) = - ^ ( 2 + За2 - a).
3- misol. 4a* + a49a 
-
 
— 4a* 
ifodani soddalashtiring.
a
Y e c h i s h .
4a* + a49a
 
-
^ 
4a* - a4a
 
+ 3 j л/ot 
- aVa 
= 
Зал/д.
^—ryj(a2 - 2ab
 + b7 )(a2 - b2 )(a + b) •
4-misol. Q_ ij
ifodani soddalashtiring.
аъ - Ь ъ
И(° + ЬУ
133

---

Y ech ish .
—
t](a2
- 2
ab + b2)(a2 - b2)(a
 + 
b)
a - b
a3 
- b 3
tl(a + b)2
= 
- Ж а - b)2(a
+ 
b)(a
+ Й) • - ^ L j L
a " 6 
^/(a + Z»)2
= 
( a - b ) -
yj(a 
+ b)2 ■
,g л. 
Ь
 
= a (a 3 - 63).
a ~ b 
m + b ) 2
5-m isol.
xVx 
+ y*Jx
2
 y/у
\ X + y \ X
I
----- 
, 
ч 
2 - s j y
r- 
/— 
• (,* У/ + (— 
i— 
ifodani sodda-
V x
+ s]y
 
V x + V J
lashtiring.
Y e c h ish .
xVx 
+ 
yVx 
у—
_ xVx 
+>>Ух -
^Jxy%
■yfx - J x y - y f y
_
1} 
V J+V ? 
^ + 7 ?
_ X-s/x + У Vx - x-y/j - у Vx _ 
X {J* ~ S ) '
Vx + 
yfy 
j x + yfy
x ( J x - J y ) t
 
4_ x ( V x + ^ )
j
2) 
- Б + f i
Л х ~ у ) ’°
< Л +ч6 о < Л - 7 7 >
( л + Я