И здан и е второе, стереотипное

, (м0)
4
i)
60
s 
(^01
ill) •
(«0
ll)
А —
60
, («
0
.
1
») SO, (Ы
д, ■Ч«) •.. 
ьап
(“о •Q
s)
«
0
, («
0
.
’Чп)
бО, (Ио, Чп) •. 
ьап
(“о.
■Цп)
отличен от нуля, то найдутся такие постоянные \к,
4 = 1, 2,
п, что

---

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем вещ ественные переменные
**> 
*1
..........
ап
и элементы 
nk
^
М& k — 0,
1
п.
Положим
п
« —
Щ
-J- ^ “ л7!*- 
(б )
* = о
При любых значениях а* элемент и £ Ц ,. Действительно,
щ
 = Я + ^ Т £ Л4о- Но тогда
Выражение в скобке — линейная комбинация элементов из Af„,
которая, следовательно, сама принадлежит 
М&
а тогда 
и
 £ Do-
Зафиксируем элементы % и положим
° / («о - f
"ft7!*j — 
Ъ
(“о- «i. ■ • •. *я). / = =
1 , 2
........ я. 
(
6
)
Вычислим первые частные производные функции (
6
) при
** = 0, 
k
 =
1
, 2, . . . , я. Имеем
- О
\
А- 0
\
Чф1
= 8 0 / н
0
+ ^ “ft7)*»
\ 
ft —о 
\
П олож ив дополнительно а* = О, 
k ф
/, получим
* 7 ? / ( « « .
“1
......... « / .) [ - «
= о =
8
0 /(« в . Ч/> 
(7 )
* 
10
1
/ 1
Элементы т^, tjj, . >., kj, выберем так, чтобы определитель (
3
)
был отличен от нуля, и рассмотрим систему уравнений
9 7 («о» «
1
. • • • . « « ) — < ,= = О, 
/ = 1 , 2 , . . . , л. 
( 8 )
Для системы (
8
) выполнены условия теоремы о неявных
функциях: в точке а
0
 = а, = . . . = а
„ = : 0
система (
8
) у д о в ­
летворяется, и в этой ю чке якобиан
Р
(?» т»< •••, Тя)
••• > «я)

---

отличен от нуля — в силу соотношений (7 ) он совпадает
с 
определителем (3). О тсю да следует, что сущ ествую т функ­
ции 
ak — wk
 (о,,), 
k — \,
 
2
, . . . , я, обращающие уравнения
системы (
8
) в тождества; эти функции непрерывно диф ф ерен­
цируемы при (*
0
, близких к нулю, и шА(
0
) =
0
.
Уравнения (
8
) означают, что
Q j ( к
0
 -j~ йо^а “Ь 2
r,l*j ==h '
I ~  ^ 
• • • ’ 
п>
т. е. что при любых а0, достаточно близких к нулю, элемент
П
* = 1
удовлетворяет изопериметрическим равенствам (1). В таком
случае
F ( « ( a 0) ) S s F ( « 0).
П ри о^о = 0 имеем н ( 0 ) = н0; функция 
F
 (и (оц,)) от вещ ествен­
ной переменной а,, имеет минимум при а
0
 =
0
, и потому
И м еем
d F
( 
U„
+ а0т)0 +
S
f O W I
S “ И * ) 
fe=l 
/
а<>е*0 
da-Q
а0 *= aj 
О
+
или, короче,
n 
dF(tia +
о0У10 +
е д * )
+ 2 —
dak ~"~
“ * (во)
da
% F (и
 (а,,)) I 
о ^
=
&F (щ,
т)0) -J- 
J
bF
 (« с Ч*) 
(0). 
(9)
Значения и>*(
0
) мож но определить из системы (
8
). В урав­
нения этой системы подставим ай = ш*(ао)> полученные тож ­

---

дества продифференцируем по а
0
и положим а
0
 = 0. Анало­
гично соотнош ению (9 ) мы получим равенства
П
% ) + 2
8
°у(«о> ч * ) « * ( о ) = а
/ = = 1 , 2 , . . . . л. (Ю )
* = 1
Эти равенства представляют собой линейную систему с
неизвестными ш*(
0
); ее определитель, равный определителю
(3), отличен от нуля. Как легко видеть, реш ение системы (1 0 )
имеет вид
П
т'к
 (0 ) = 2
Акт ьат (щ,
Yjo), 
k —
 
1
, 
2
, . . . , я,
m = 1
где 
А кт
 — некоторы е постоянные. Подставив эт о в (9), изме*
нив порядок суммирования и введя обозначения
\ / = 2
Akf b F (и
о. Tift), 
J = F -
f- 2
kj Qj,
получим
Щ и» ъ ) = о .
Повторяя рассуж дения, использованные в § 4 при выводе
уравнения Эйлера, найдем
(grad 
J )
(н0) = |g ra d
J ]
X, Oyj j (и0) =
0
,
что и требовал ось доказать.
Отметим, что доказанная здесь теорем а Эйлера дает только
необходим ое условие минимума для изопериметрической задачи.
Техника реш ения изопериметрических задач такова: со-
П
ставляем функционал 
J = F - \ -
2
где Xft — неизвестные
постоянные, 
и 
пишем для эт ого функционала уравнение
Эйлера. О но содерж и т в качестве неизвестных элем ент м„
и постоянные Xj, Xg, . . . , Х„. Эти неизвестные определяю тся из
Уравнения Эйлера (4 ) и изопериметрических равенств (1).
В качестве п р и м е р а рассмотрим задачу 3 § 1, упомя­
нутую такж е в начале настоящего параграфа. В соответствии

---

с теоремой Эйлера введем постоянный множитель X и соста­
вим функционал
J(u) — F
( и ) + X O j
(и)
= ^ ( и + X 
У
1 + к '" )
dx;
а
и(а) = и
(
b
) = 0.
Функционал 
J
является частным случаем функционала про­
стейшей задачи вариационного исчисления; в данном случае
Ф(ДГ, 
и,
H 'Jsrrff-j-X
1 -j- н ' 9. Уравнение Эйлера (grad 
J)(u) —
= 0 для функционала 
J
в соответствии с формулой (4.8)
принимает вид
d
 
Х“ ' 
1
— П
d x  ] / l + ил
И нтегрирование дает
и'_______ х — с
У Т + й * ' ~
х
Отсюда
, 
х  — с
и
=
-------
7=
=
=
.
/ X
8
 —
( х —  с)г
Интегрируя ещ е раз, придем к уравнению окруж ности ра­
диуса X:
( х — c f
 + (и — с ,) ’ = Xs.
Таким образом , если реш ение сущ ествует, т о это — дуга
окруж ности. Для определения ее радиуса X и центра 
(с,
Cj)
имеем три уравнения:
ь
________
и
( а ) = 0 , 
и{р) —
0 , 
( У 1 - ) - н '*
d x
=
I-
а
Взяв начало координат посередине отрезка 
[а, Ь],
будем иметь
а —
 —
Ь;
наши уравнения принимают вид
( c
4
- ^ + cJ = Xs, 
(с —
 *)* + е* = Х»,
Г 
, , 1
 
d x — l.
J / X * - ( * — «)*
- ъ
О тсюда 
с — 0, Ci — V
X* —
b \
 
2
Х 
arcsin 
~
 = /. В частном слу­
чае, когда 
1 — кЬ, к — Ь,
и реш ение — полуокруж ность.

---

§ 7 . М и н и м и зи р ую щ ая п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
П у с т ь /7— произвольный ограниченный снизу функционал.
В таком случае сущ ествует нижняя грань е г о значений
[
а
=
inf F (
m
).
и g o (Л
П оследовательность {ия} элементов из 
D (F )
называется 
м и ­
нимизирующей
для функционала 
F,
если сущ ествует предел
F(u„),
равный |
1
.
Т е о р е м а
3.7.1. 
Функционал, 
ограниченный снизу,
имеет по крайней мере одну минимизирующую последо­
вательность.
И з определения нижней грани следует, что: 1) для лю бого
элемента 
u £ D ( F )
справедливо неравенство F ( h ) S s |a ;
2
) для
лю бого е > 0 сущ ествует такой элемент «<■) из 
D(F),
что
F ( h (,)) 
[1
 -{- 
е.
Положим е =
1
/л и обозначим и(,'я> = и„.
Тогда
откуда следует, что lim /=■(«„) = [»,.
Т е о р е м а 3.7.2. 
Пусть D {F
) —
линейное многообразие
некоторого банахова пространства X. Если функционал
F непрерывен в D (F ) и существует предел минимизирую­
щей последовательности
и
0
 = Ь 'т н л, 
то элемент щ сооб­
щает функционалу F минимальное значение.
Д о к а з а т е л ь с т в о очень п р о ст о : в си л у н еп р е р ы вн о с ти
ф у н к ц и о н ал а
F
 (Me) = Hm 
F
 (н„) = [д. = inf 
F
 (ия).
Теоремы настоящего параграфа создаю т возм ож ность р е­
шать задачу о минимуме функционала, минуя уравнения Эйлера.
Для эт о го надо прежде всего погрузить м нож ество 
D (F )
в такое банахово пространство 
в к отор ом функционал 
F
был бы непрерывен. Д алее, сл едует построить минимизирую­
щую последовательность. Если она сходится (в смы сле с х о ­
димости в пространстве 
X),
то е е предел реш ает вариацион­
ную задачу.

---

1. Обозначим через 
С‘0и [а, Ь]
множество функций, непрерывно 
дифференцируемых на сегменте 
[а,
6 ] и равных нулю в точках 
а
и 
Ъ.
Функционал