И здан и е второе, стереотипное

§ 1 гл. 
8
). О тсю да следует, что уравнения (
6
) и (9), а такж е 
уравнения (7 ) и (
8
) — попарно сопряженные.
3 . Л ю бое суммируемое с квадратом решение каж дого из 
уравнений (
6
) — (9 ) непрерывно на Г . Действительно, как по­
к азан о в § 3,
д
1 
__
А(х, Z)
* г - - — и _ , - * 
г 
1
гд е функция Л(дг, Е) на Г непрерывна. П ерестави в аргументы 
х
и I, получим
д
1 
_ _
А
(£, 
х)
дп г " -
т _ , - ’ 
г
2
и функция Л (Е , 
х)
т о ж е непрерывна на Г . Напомним еще, 
что функции <р(х) и ф(лг) непрерывны по предположению. 
Т еп ер ь .наше утверж дени е вы текает из теоремы 
8
.
6
.
1
.
Уравнения (
6
) — ( 9 ) обычно 
называют 
интегральными
уравнениями теории потенциала.
§ 9 . З а д а ч и Д и р и х л е и Н ей м ана в п о л у п р о с т р а н с т в а
Д о си х пор мы не давали определения функции, гармо­
н ической в п олупростран стве или, вообщ е, в области с бес­
конечной границей. Распространим на это т случай определе­
ние, данное для конечной области: в области с бесконечной 
границей функция назы вается гармонической, если в этой о б ­
ласти функция имеет вторы е производные, непрерывные в 
к аж дой точке,- и удовлетворяет уравнению Лапласа.
П олученные в предш ествую щ ем параграфе интегральные 
уравнения п озволяю т реш ить задачи Дирихле и Неймана для

---

однородного уравнения Лапласа в полупространстве; надо 
то л ьк о потребовать, чтобы заданные функции <р(х) и ф(лг) 
с определенной скоростью убывали на бесконечности. Т очн ее 
мы о б этом скаж ем чуть ниже.
При некоторы х естественны х ограничениях теоремы о 
потенциалах, доказанны е выше, распространяю тся и на случай, 
к огда п овер хн ость Г бесконечная. Т ак , если Г есть гипер­
п л оск ость Ет =
0
, то надо дополнительно потребовать, чтобы 
плотность о ($ ) потенциала двойного слоя имела на бескон еч­
ности оценку
m—I
а (
6
) =
0
( р Л
Р
9
= £ ^ -
Р — co n st >
0
, 
(
1
)
А— 1
а плотность [х (£) потенциала простого слоя — оценку
^ О ) =
0
( р - ^ ) ; 
(
2
)
при эти х оценках интегралы (3 .1 ) и (6 .1 ) сходятся.
В случае полупространства достаточн о говори ть тол ьк о 
о внутренней задаче и рассматривать то л ьк о интегральные 
уравнения (
8
.
6
) и (
8
.
8
). П о формуле (2 .4 ) ядро уравнения (
6
) 
имеет виц
д
1