Эконометрический анализ

Глава 7. Нелинейная, полупараметрическая и непараметриче ская модели 
регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.2. Нелинейные регрессионные модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.1. Предположения нелинейной регрессионной модели . . . . . . . . . . 219
7.2.2. Нелинейная оценка наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.3. Асимптотические свойства оценки нелинейным методом 
наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2.4. Проверка гипотез и ограничения на параметры. . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2.5. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.2.6. Вычисление оценки нелинейным методом наимень ших
квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.3. Медианная и квантильная регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.3.1. Оценка методом наименьших абсолютных отклонений . . . . . . . . 246
7.3.2. Модели квантильных регрессий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.4. Частично линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.5. Непараметрическая регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.6. Заключение и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

---

viii Оглавление
Глава 8. Эндогенность и метод инструментальных переменных . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.2. Предположения расширенной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.3. Оценка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.3.1. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.3.2. Оценка методом инструментальных переменных . . . . . . . . . . . . . 272
8.3.3. Причины, приводящие к методу инструментальных 
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.3.4. Двухшаговый метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.4. Два теста на спецификацию модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.4.1. Тесты Хаусмана и Ву на спецификацию модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
8.4.2. Тест на сверхидентифицирующие ограничения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
8.5. Ошибка измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.5.1. Недооценка метода наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.5.2. Оценка методом инструментальных переменных . . . . . . . . . . . . . 294
8.5.3. Прокси-переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.6. Оценка нелинейным методом инструментальных переменных . . . . . 299
8.7. Слабые инструменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.8. Естественные эксперименты и поиск причинно-следственных 
связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
8.9. Заключение и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Глава 9. Обобщенная регрессионная модель и гетероскедастичность . . . . . . . . . . 313
9.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.2. Неэффективность оценок методами наименьших
квадратов и инструментальных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.2.1. Свойства МНК в конечных выборках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.2.2. Асимптотические свойства МНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
9.2.3. Устойчивая оценка асимптотической ковариацион ной
матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.2.4. Метод инструментальных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
9.3. Эффективное оценивание обобщенным методом
наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.3.1. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК, GLS) . . . . . . 322
9.3.2. Доступный обобщенный метод наименьших квадра тов
(ДОМНК, FGLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.4. Гетероскедастичность и взвешенный метод наименьших квадратов 326
9.4.1. Обычный метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.4.2. Неэффективность обычного метода наименьших квад ратов
328
9.4.3. Оцененная ковариационная матрица 
b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.4.4. Оценка подходящей ковариационной матрицы для метода 
наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.5. Тесты на гетероскедастичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.5.1. Общий тест Уайта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.5.2. LM-тест Бройша–Пэгана/Годфри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.6. Взвешенный метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.6.1. Взвешенный метод наименьших квадратов
с известной матрицей Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.6.2. Оценка при условии, что матрица Ω содер жит
неизвестные параметры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.7. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.7.1. Мультипликативная гетероскедастичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.7.2. Групповая гетероскедастичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.8. Заключение и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Глава 10. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.2. Системы внешне не связанных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

---

Оглавление ix
10.2.1. Обобщенный метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.2.2. Системы внешне не связанных уравнений с одинако выми
регрессорами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.2.3. Допустимый обобщенный метод наименьших квадратов
(ДОМНК, FGLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.2.4. Проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.2.5. Тест на спецификацию для систем внешне не связанных 
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.2.6. Объединенная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.3. Обобщенные модели внешне не связанных регрессий. . . . . . . . . . . . . 369
10.4. Нелинейные системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.5. Системы уравнений спроса: вырожденные системы . . . . . . . . . . . . . . 374
10.5.1. Функция издержек Кобба-Дугласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.5.2. Гибкие функциональные формы: транслогарифмиче ская
функция издержек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.6. Модели одновременных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
10.6.1. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.6.2. Общие замечания для моделей линейных одновременных 
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.6.3. Проблема идентификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.6.4. Оценка одного уравнения и проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . 397
10.6.5. Методы оценки систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
10.6.6. Тестирование при наличии слабых инструментальных 
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10.7. Заключение и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
Глава 11. Модели панельных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11.2. Модели панельных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.2.1. Общие подходы к моделированию панельных данных . . . . . . . . 420
11.2.2. Структуры модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.2.3. Расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.2.4. Сбалансированные и несбалансированные панели . . . . . . . . . . . 423
11.2.5. Доброкачественные панельные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.3. Объединенная регрессионная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.3.1. Оценка объединенной модели методом наименьших 
квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.3.2. Устойчивая оценка ковариационной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.3.3. Кластеризация и стратификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.3.4. Устойчивое оценивание с использованием
группового среднего значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
11.3.5. Оценка в первых разностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
11.3.6. Внутри- и межгрупповые оценки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.4. Модель с фиксированными эффектами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
11.4.1. Оценки методом наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
11.4.2. Асимптотики при малых 
Т
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.4.3. Проверка значимости групповых эффектов . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
11.4.4. Фиксированные временные и групповые эффекты . . . . . . . . . . . 441
11.4.5. Постоянные во времени переменные и декомпозиция
вектора фиксированных эффектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
11.5. Случайные эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
11.5.1. Оценка методом наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
11.5.2. Обобщенный метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
11.5.3. Допустимый обобщенный метод наименьших квад ратов 
при неизвестной матрице 
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
11.5.4. Проверка гипотез для случайных эффектов . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
11.5.5. Тест на спецификацию Хаусмана для модели 
со случайными эффектами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

---

x Оглавление
11.5.6. Расширение модели с ненаблюдаемыми эффектами:
подход Мундлака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
11.5.7. Расширение моделей с фиксированными и случайны ми
эффектами: подход Чемберлена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
11.6. Несферические шоки и устойчивые оценки ковариационной 
матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
11.6.1. Устойчивые оценки модели с фиксированными эффектами 
470
11.6.2. Гетероскедастичность в модели со случайными эф фектами
471
11.6.3. Автокорреляция в моделях панельных данных . . . . . . . . . . . . . . 472
11.6.4. Кластерные (и панельные) устойчивые ковариацион ные
матрицы для оценок с фиксированными и случайными эффектами 
473
11.7. Пространственная автокорреляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
11.8.Эндогенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
11.8.1. Оценка инструментальных переменных Хаусмана–Тейлора 
481
11.8.2. Состоятельная оценка динамических моделей панель ных
данных: ГУ-оценка Андерсона–Хсяо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
11.8.3. Эффективная оценка динамических моделей панель ных
данных: метод Ареллано–Бонда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
11.8.4. Нестационарные временные ряды и модели панель ных
данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
11.9. Нелинейная регрессия с панельными данными. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
11.9.1. Устойчивая ковариационная матрица для нелинейного 
метода наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
11.9.2. Фиксированные эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
11.9.3. Случайные эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
11.10. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
11.11. Неоднородность параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
11.11.1. Модель со случайными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
11.11.2. Иерархическая линейная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
11.11.3. Неоднородность параметров и динамические модели 
панельных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
11.12. Заключение и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
Глава 12. Подходы к оцениванию в эконометрике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
12.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
12.2. Параметрические методы оценки и тестирование 
стати стических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
12.2.1. Классический подход к оценке, основанный на функции 
правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
12.2.2. Моделирование совместных распределений 
копула-функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
12.3. Полупараметрические методы оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
12.3.1. ОММ-оценка в эконометрике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
12.3.2. Оценка методом максимального эмпирического
правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
12.3.3. Оценка методом наименьших абсолютных отклоне ний
и квантильная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
12.3.4. Ядерные методы оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
12.3.5. Сравнение параметрического и полупараметрического
анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
12.4. Непараметрические методы оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
12.4.1. Ядерная оценка плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
12.5. Свойства оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
12.5.1. Статистические свойства оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
12.5.2. Экстремальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
12.5.3. Предположения для асимптотических свойств 
экстремальных оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
12.5.4. Асимптотические свойства оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

---

Оглавление xi
12.5.5. Тестирование гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
12.6. Заключение и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554