|
M a s h q l a r
69.
y
=
x
2
+
x
– 6 funksiyaning grafigini yasang. Grafik bo‘yicha
x
ning funksiya musbat qiymatlar; manfiy qiymatlar qabul qiladi-
gan qiymatlarini toping.
70.
(Og‘zaki.)
y
=
ax
2
+
bx
+
c
funksiya grafigidan foydalanib (21- rasm),
x
ning qanday qiymatlarida bu funksiya musbat qiymatlar, man-
fiy qiymatlar, nolga teng qiymat qabul qilishini ko‘rsating.
Kvadrat tengsizlikni yeching (
71–75
):
71.
1)
x
2
– 3
x
+ 2
£
0;
2)
x
2
– 3
x
– 4
³
0;
3) –
x
2
+ 3
x
– 2 < 0;
4) –
x
2
+ 3
x
+ 4 > 0.
72.
1) 2
x
2
+ 7
x
– 4 < 0;
2) 3
x
2
– 5
x
– 2 > 0;
3) –2
x
2
+
x
+ 1
³
0;
4) –4
x
2
+ 3
x
+ 1
£
0.
73.
1)
x
2
– 6
x
+ 9 > 0;
2)
x
2
– 14
x
+ 49
£
0;
3) 4
x
2
– 4
x
+ 1
³
0;
4) 4
x
2
– 20
x
+ 25 < 0;
5) –9
x
2
– 6
x
– 1 < 0;
6) –2
x
2
+ 6
x
– 4,5
£
0.
74.
1)
x
2
– 4
x
+ 6 > 0;
2)
x
2
+ 6
x
+ 10 < 0;
3)
x
2
+
x
+ 2 > 0;
4)
x
2
+ 3
x
+ 5 < 0;
5) 2
x
2
– 3
x
+ 7 < 0;
6) 4
x
2
– 8
x
+ 9 > 0.
a)
b)
d)
e)
f)
g)
h)
21- rasm.
37
75.
1) 5 –
x
2
³
0;
2) –
x
2
+ 7 < 0;
3) –2,1
x
2
+ 10,5
x
< 0;
4) –3,6
x
2
– 7,2
x
< 0;
5) –6
x
2
–
x
+ 12 > 0;
6) –3
x
2
– 6
x
+ 45 < 0;
7)
2
1
2
–
+ 4,5 – 4 > 0;
x
x
8) –
x
2
– 3
x
– 2 > 0.
76.
(Og‘zaki.) Tengsizlikni yeching:
1)
x
2
+ 10 > 0;
2)
x
2
+ 9 < 0;
3) (
x
– 1)
2
+ 1 > 0;
4) (
x
+ 5)
2
+ 3 < 0;
5) –(
x
+ 1)
2
– 2 < 0;
6) –(
x
– 2)
2
– 4 > 0;
7) 0,5
x
2
+ 8
£
0;
8)
( )
³
2
3
4
–
+ 21
0.
x
Kvadrat tengsizlikni yeching (
77–79
):
77.
1) 4
x
2
– 9 > 0;
2) 9
x
2
– 25 > 0;
3)
x
2
– 3
x
+ 2 > 0;
4)
x
2
– 3
x
– 4 < 0;
5) 2
x
2
– 4
x
+ 9
£
0;
6) 3
x
2
+ 2
x
+ 4
³
0;
7)
-
³ -
2
1
2
4
8
x
x
;
8)
+
£ -
2
1
3
2
3
x
x
.
78.
1) 2
x
2
– 8
x
£
–8;
2)
x
2
+ 12
x
³
–36;
3) 9
x
2
+ 25 < 30
x
;
4) 16
x
2
+ 1 > 8
x
;
5) 2
x
2
–
x
³
0;
6) 3
x
2
+
x
£
0;
7) 0,4
x
2
– 1,1
x
+ 1
³
0;
8)
x
2
–
x
+ 0,26
£
0.
79.
1)
x
(
x
+ 1) < 2(1 – 2
x
–
x
2
); 2)
2
2
1
8
+ 2 < 3 –
;
x
x
x
3)
2
2
1
4
6
+ 1
5 –
;
x
x
x
£
4) 2
x
(
x
– 1) < 3(
x
+ 1);
5)
2
5
1
3
6
–
+ 1;
x
x
x
£
6)
³
2
1
2
6
3
+
– 1.
x
x
80.
x
ning funksiya noldan katta bo‘lmagan qiymatlarni qabul qila-
digan barcha qiymatlarini toping:
1)
y
= –
x
2
+ 6
x
– 9;
2)
y
=
x
2
– 2
x
+ 1;
3)
2
1
1
2
2
–
– 3 – 4 ;
y
x
x
=
4)
2
1
3
–
– 4 – 12.
y
x
x
=
81.
1)
x
2
– 2
x + q
> 0 tengsizlikning
q
> 1 bo‘lgandagi yechimlari
x
ning barcha haqiqiy qiymatlari bo‘lishini ko‘rsating;
2)
x
2
+ 2
x
+
q
£
0 tengsizlik
q
> 1 bo‘lganda haqiqiy yechimlarga
ega emasligini ko‘rsating.
38
82
.
r
ning
x
2
– (2 +
r
)
x
+ 4 > 0
tengsizlik
x
ning barcha haqiqiy qiymatlarida bajariladigan
barcha qiymatlarini toping.
8- §.
INTERVALLAR USULI
Tengsizliklarni yechishda ko‘pincha intervallar usuli qo‘llaniladi.
Bu usulni misollarda tushuntiramiz.
1- m a s a l a .
x
ning qanday qiymatlarida
x
2
– 4
x
+ 3 kvadrat
uchhad musbat qiymatlar, qanday qiymatlarida esa manfiy qiymatlar
qabul qilishini aniqlang.
x
2
– 4
x
+ 3 = 0 tenglamaning ildizlarini topamiz:
x
1
= 1,
x
2
= 3.
Shuning uchun
x
2
– 4
x
+ 3 = (
x
– 1)(
x
– 3).
x
= 1 va
x
= 3 nuqtalar (22- rasm) son o‘qini uchta oraliqqa bo‘ladi:
x
< 1, 1 <
x
< 3,
x
> 3.
1 <
x
< 3 oraliq singari
x
< 1,
x
> 3 oraliqlar ham
intervallar
deyiladi.
22- rasm.
Son o‘qi bo‘yicha o‘ngdan chapga harakat qilib,
x
> 3 intervalda
x
2
– 4
x
+ 3 = (
x
– 1)(
x
– 3) uchhad musbat qiymatlar qabul qilishini
ko‘ramiz, chunki bu holda ikkala
x
– 1 va
x
– 3 ko‘paytuvchi ham musbat.
Keyingi 1 <
x
< 3 intervalda shu uchhad manfiy qiymatlar qabul
qiladi va, shunday qilib,
x
= 3 nuqta orqali o‘tishda ishorasini o‘zgar-
tiradi. Bu hol shuning uchun ham sodir bo‘ladiki, (
x
– 1)(
x
– 3) ko‘payt-
mada
x
= 3 nuqta orqali o‘tishda
x
– 1 ko‘paytuvchi ishorasini o‘zgar-
tirmaydi, ikkinchi
x
– 3 ko‘paytuvchi esa ishorasini o‘zgartiradi.
x
= 1 nuqta orqali o‘tishda uchhad yana ishorasini o‘zgartiradi,
chunki (
x
– 1)(
x
– 3) ko‘paytmada birinchi
x
– 1 ko‘paytuvchi ishorasini
o‘zgartiradi, ikkinchi
x
– 3 ko‘paytuvchi esa o‘zgartirmaydi.
39
Demak, son o‘qi bo‘yicha o‘ngdan chapga qarab harakat qilib bir
intervaldan qo‘shni intervalga o‘ta borganda (
x
– 1)(
x
– 3) ko‘paytma-
ning ishoralari almasha boradi.
Shunday qilib,
x
2
– 4
x
+ 3
kvadrat uchhadning ishorasi haqidagi masalani quyidagi usul bilan
yechish mumkin.
x
2
– 4
x
+ 3 = 0 tenglamaning ildizlarini son o‘qida belgilay-
miz:
x
1
= 1,
x
2
= 3. Ular son o‘qini uchta intervalga ajratadi
(22- rasm).
x
> 3 intervalda
x
2
– 4
x
+ 3 uchhadning musbat
bo‘lishini aniqlab, uchhadning qolgan intervallardagi ishora-
larini almasha boradigan tartibda belgilaymiz (23- rasm). 23- rasm-
dan ko‘rinib turibdiki,
x
< 1 va
x
> 3 bo‘lganda
x
2
– 4
x
+ 3 > 0,
1 <
x
< 3 bo‘lganda esa
x
2
– 4
x
+ 3 < 0.
23- rasm.
Qarab chiqilgan usul
intervallar usuli
deyiladi. Bu usuldan kvadrat
tengsizliklarni va ba’zi tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.
Masalan, 1- masalani yechganda biz aslida
x
2
– 4
x
+ 3 > 0 va
x
2
–4
x
+ 3 < 0 tengsizliklarni intervallar usuli bilan yechdik.
2- m a s a l a .
x
3
–
x
< 0 tengsizlikni yeching.
x
3
–
x
ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
x
3
–
x = x
(
x
2
– 1) =
x
(
x
– 1)(
x
+ 1).
Demak, tengsizlikni bunday yozish mumkin:
(
x
+ 1)
x
(
x
– 1) < 0.
Son o‘qida –1, 0 va 1 nuqtalarni belgilaymiz. Bu nuqtalar son o‘qini
to‘rtta intervalga ajratadi (24- rasm):
x
< –1, –1 <
x
< 0, 0 <
x
< 1,
x
> 1.
24- rasm.
40
x
> 1 bo‘lganda (
x
+ 1)
x
(
x
– 1) ko‘paytmaning hamma ko‘paytuv-
chilari musbat, shuning uchun
x
> 1 intervalda (
x
+ 1)
x
(
x
– 1) > 0
bo‘ladi. Qo‘shni intervalga o‘tishda ko‘paytma ishorasining almashishini
e’tiborga olib, har bir interval uchun (
x
+ 1)
x
(
x
– 1) ko‘paytmaning
ishorasini topamiz (25- rasm).
Shunday qilib, tengsizlikning yechimlari
x
ning
x
< –1 va 0 <
x
< 1
intervallardagi barcha qiymatlari bo‘ladi.
J a v o b :
x
< –1, 0 <
x
< 1.
3- m a s a l a .
(
x
2
– 9)(
x
+ 3)(
x
– 2) > 0 tengsizlikni yeching.
Berilgan tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(
x
+ 3)
2
(
x
– 2)(
x
– 3) > 0.
(1)
Barcha
x
¹
–3 da (
x
+ 3)
2
> 0 bo‘lgani uchun
x
¹ -
3 da (1) tengsiz-
likning yechimlari to‘plami
(
x
– 2)(
x
– 3) > 0
(2)
tengsizlik yechimlari to‘plami bilan ustma-ust tushadi.
x
= –3 qiymat (1) tengsizlikning yechimi bo‘lmaydi, chunki
x
= –3
bo‘lganda tengsizlikning chap qismi 0 ga teng.
(2) tengsizlikni intervallar usuli bilan yechib,
x
< 2,
x
> 3 ni hosil
qilamiz (26- rasm).
x
= –3 berilgan tengsizlikning yechimi bo‘lmasligini e’tiborga olib,
oxirida javobni bunday yozamiz:
x
< –3, –3 <
x
< 2,
x
> 3.
4- m a s a l a .
Ushbu tengsizlikni yeching:
2
2
2 –3
–3 –4
0.
x
x
x
x
+
³
25- rasm.
26- rasm.
41
Kasrning surat va maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratib quyidagini
hosil qilamiz:
(
3)( –1)
(
1)( –4)
0.
x
x
x
x
+
+
³
(3)
Son o‘qida kasrning surat yoki maxraji nolga aylanadigan –3; –1;
1; 4 nuqtalarni belgilaymiz. Bu nuqtalar son to‘g‘ri chizig‘ini beshta
intervalga ajratadi (27- rasm).
x
> 4 bo‘lganda kasrning surat va max-
rajidagi barcha ko‘paytuvchilar musbat va shuning uchun kasr musbat.
Bir intervaldan keyingisiga o‘tishda kasr ishorasini o‘zgartiradi, shu-
ning uchun kasrning ishoralarini 27- rasmdagidek qilib qo‘yish mum-
kin.
x
= –3 va
x
= 1 qiymatlar (3) tengsizlikni qanoatlantiradi,
x
= –1
va
x
= 4 bo‘lganda esa kasr ma’noga ega emas. Shunday qilib, berilgan
tengsizlik quyidagi yechimlarga ega:
x
£
–3, –1 <
x
£
1,
x
> 4.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
