|
Agar progressiyaning barcha hadlari musbat bo‘lsa, u
holda
n
n
n
b
b
b
-
+
=
1
1
bo‘ladi, ya’ni geometrik progressiyaning
ikkinchisidan boshlab har bir hadi unga qo‘shni bo‘lgan ikkita
hadning o‘rta geometrigiga teng. «Geometrik» progressiya
degan nom shu bilan izohlanadi.
Agar
b
1
va
q
berilgan bo‘lsa, u holda geometrik progressiyaning
qolgan hadlarini
b
n
+
1
=
b
n
q
rekurrent formula bo‘yicha hisoblash mumkin-
ligini ta’kidlaymiz. Biroq,
n
katta bo‘lganda bu ko‘p mehnat talab qiladi.
Odatda
n
-hadning formulasidan foydalaniladi.
!
168
Geometrik progressiyaning ta’rifiga ko‘ra
b
2
=
b
1
q
,
b
3
=
b
2
q
=
b
1
q
2
,
b
4
=
b
3
q
=
b
1
q
3
va h.k.
Umuman,
b
n
=
b
1
q
n
-
1
,
(1)
chunki geometrik progressiyaning
n
- hadi uning birinchi hadini
q
songa
(
n
-
1) marta ko‘paytirish bilan hosil qilinadi.
(1) formula geometrik progressiya
n-hadi formulasi
deyiladi.
2- m a s a l a .
Agar
b
1
=
81 va
q
=
1
3
bo‘lsa, geometrik progressiya-
ning yettinchi hadini toping.
(1) formulaga ko‘ra:
( )
b
7
7 1
6
81
1
3
81
3
1
9
=
×
=
=
-
.
3 - m a s a l a .
486 soni 2, 6, 18, ... geometrik progressiyaning hadi.
Shu hadning nomerini toping.
Aytaylik,
n
– izlangan nomer bo‘lsin.
b
1
=
2,
q
=
3 bo‘lgani uchun
b
n
=
b
1
q
n
-
1
formulaga ko‘ra:
486
=
2
×
3
n
-
1
, 243
=
3
n
-
1
, 3
5
=
3
n
-
1
,
bundan
n
-
1
=
5,
n
=
6.
4 - m a s a l a .
Geometrik progressiyada
b
6
=
96 va
b
8
=
384.
n
-hadi-
ning formulasini toping.
b
n
=
b
1
q
n
-
1
formulaga ko‘ra:
b
6
=
b
1
q
5
,
b
8
=
b
1
q
7
.
b
6
va
b
8
ning
berilgan qiymatlarini qo‘yib, hosil qilamiz: 96
=
b
1
q
5
, 384
=
b
1
q
7
. Bu
tengliklardan ikkinchisini birinchisiga bo‘lamiz:
384
96
1
7
1
5
=
b q
b q
,
bundan 4
=
q
2
yoki
q
2
=
4. Oxirgi tenglikdan
q
=
2 yoki
q
= -
2 ekanini
topamiz.
Progressiyaning birinchi hadini topish uchun 96
=
b
1
q
5
tenglikdan
foydalanamiz:
!
169
1)
q
=
2 bo‘lsin. U holda 96
=
b
1
×
2
5
,
96
=
b
1
×
32,
b
1
=
3.
Demak,
b
1
=
3 va
q
=
2 bo‘lganda
n
- had-
ning formulasi
b
n
=
3
×
2
n
-
1
bo‘ladi.
2)
q
=
-
2 bo‘lsin. U holda 96
=
b
1
(-
2)
5
,
96
=
b
1
(
-
32),
b
1
=
-
3.
Demak,
b
1
=
-
3 va
q
= -
2 bo‘lganda,
n
-
hadning formulasi
b
n
= -
3
×
(
-
2)
n
-
1
bo‘ladi.
J a v o b :
b
n
=
3
×
2
n
-
1
yoki
b
n
= -
3
×
(
-
2)
n
-
1
.
5- m a s a l a .
Aylanaga kvadrat ichki chizilgan, unga esa ikkinchi
aylana ichki chizilgan. Ikkinchi aylanaga ikkinchi kvadrat ichki chizilgan,
unga esa uchinchi aylana ichki chizilgan va hokazo (77- rasm). Aylana-
larning radiuslari geometrik progressiya tashkil qilishini isbotlang.
n
-aylananing radiusi
r
n
bo‘lsin. U holda Pifagor teoremasiga ko‘ra
n
n
n
r
r
r
+
+
+
=
2
2
2
1
1
,
bundan
n
n
r
r
+
=
2
2
1
1
2
, ya’ni
n
n
r
r
+
=
1
1
2
.
Demak, aylanalar radiuslarining ketma-ketligi maxraji
1
2
bo‘lgan
geometrik progressiya tashkil qiladi.
M a s h q l a r
428.
(Og‘zaki.) Ushbu geometrik progressiyaning birinchi hadi va
maxraji nimaga teng:
1) 8, 16, 32, ...;
2)
-
10, 20,
-
40, ...;
3) 4, 2, 1, ...;
4)
-
50, 10,
-
2, ... ?
429.
Agar geometrik progressiyada:
1)
b
1
=
12,
q
=
2;
2)
b
1
= -
3,
q
= -
4
bo‘lsa, uning dastlabki beshta hadini yozing.
r
n
r
n
+
1
r
n
+
1
77- rasm.
170
430.
n
-hadining formulasi bilan berilgan quyidagi ketma-ketlik geo-
metrik progressiya bo‘lishini isbotlang:
1)
b
n
=
3
×
2
n
; 2)
b
n
=
5
n
+
3
; 3)
( )
n
n
b
-
=
2
1
3
; 4)
n
n
b
-
=
1
1
5
.
431.
Geometrik
progressiyada:
1)
b
1
=
3 va
q
=
10 bo‘lsa,
b
4
ni;
2)
b
1
=
4 va
q
=
1
2
bo‘lsa,
b
7
ni;
3)
b
1
=
1 va
q
= -
2 bo‘lsa,
b
5
ni;
4)
b
1
= -
3 va
q
= -
1
3
bo‘lsa,
b
6
ni hisoblang.
432.
Geometrik
progressiya
n
-hadining formulasini yozing:
1) 4, 12, 36, ...;
2) 3, 1,
1
3
, ...;
3) 4,
-
1,
1
4
, ...;
4) 3,
-
4,
16
3
, ... .
433.
Geometrik
progressiyada tagiga chizilgan hadning nomerini
toping:
1) 6, 12, 24, ... , 192, ...;
2) 4, 12, 36, ... , 324, ...;
3) 625, 125, 25, ... ,
1
25
;
4)
-
1, 2,
-
4, ... , 128, ... .
434.
Agar geometrik progressiyada:
1)
b
1
=
2,
b
5
=
162;
3)
b
1
= -
128,
b
7
= -
2;
2)
b
1
=
3,
b
4
=
81;
4)
b
1
=
250,
b
4
= -
2
bo‘lsa, uning maxrajini toping.
435.
2, 6, 18, ... geometrik progressiya berilgan.
1) shu progressiyaning sakkizinchi hadini hisoblang;
2) ketma-ketlikning 162 ga teng hadining nomerini toping.
436.
Agar musbat hadli geometrik progressiyada:
1)
b
8
1
9
=
,
b
6
81
=
;
2)
b
6
=
9,
b
8
=
3
bo‘lsa, uning yettinchi hadini va maxrajini toping.
437.
Agar geometrik progressiyada:
1)
b
4
=
9,
b
6
=
20;
2)
b
4
=
9,
b
6
=
4
bo‘lsa, uning beshinchi va birinchi hadlarini toping.
171
438.
Omonatchi jamg‘arma bankiga 2009- yilning 4- yanvar kuni
300 000 so‘m pul qo‘ydi. Agar jamg‘arma banki yiliga jam-
g‘armaning 30%i miqdorida daromad bersa, omonatchining puli
2012- yilning 4- yanvariga borib qancha bo‘ladi?
439.
Tomoni 4 sm bo‘lgan kvadrat berilgan. Uning tomonlarining
o‘rtachalari ikkinchi kvadratning uchlari bo‘ladi. Ikkinchi
kvadrat tomonlarining o‘rtalari uchinchi kvadratning uchlari
bo‘ladi va hokazo. Shu kvadratlar yuzlarining ketma-ketligi geo-
metrik progressiya tashkil qilishini isbotlang. Yettinchi kvad-
ratning yuzini toping.
33- §.
GEOMETRIK PROGRESSIYA DASTLABKI
n
TA HADINING YIG‘INDISI
1 - m a s a l a .
Ushbu yig‘indini toping:
S
=
1
+
3
+
3
2
+
3
3
+
3
4
+
3
5
.
(1)
Tenglikning ikkala qismini 3 ga ko‘paytiramiz:
3
S
=
3
+
3
2
+
3
3
+
3
4
+
3
5
+
3
6
.
(2)
(1) va (2) tengliklarni bunday yozib chiqamiz:
S
=
1
+
(3
+
3
2
+
3
3
+
3
4
+
3
5
);
3
S
=
(3
+
3
2
+
3
3
+
3
4
+
3
5
)
+
3
6
.
Qavslarning ichida turgan ifodalar bir xil. Shuning uchun pastdagi
tenglikdan yuqoridagi tenglikni ayirib, hosil qilamiz:
3
S
-
S
=
3
6
-
1, 2
S
=
3
6
-
1,
S
=
=
=
-
-
3
1
2
729 1
2
6
364 .
Endi maxraji
q
¹
1 bo‘lgan ixtiyoriy
b
1
,
b
1
q
, ...,
b
1
q
n
, ... geometrik
progressiyani qaraymiz.
S
n
– shu progressiyaning dastlabki
n
ta hadi-
ning yig‘indisi bo‘lsin:
S
n
=
b
1
+
b
1
q
+
b
1
q
2
+
...
+
b
1
q
n
-
1
.
(3)
T e o r e m a .
Maxraji q
¹
1
bo‘lgan geometrik progres-
siyaning dastlabki n ta hadining yig‘indisi quyidagiga teng:
n
n
b
q
q
S
-
-
=
1
(1
)
1
.
(4)
!
172
(3) tenglikning ikkala qismini
q
ga ko‘paytiramiz:
qS
n
=
b
1
q
+
b
1
q
2
+
b
1
q
3
+
...
+
b
1
q
n
. (5)
(3) va (5) tengliklarni, ulardagi bir xil qo‘shiluvchilarni ajratib, yozib
chiqamiz:
S
n
=
b
1
+
(
b
1
q
+
b
1
q
2
+
...
+
b
1
q
n
-
1
),
qS
n
=
(
b
1
q
+
b
1
q
2
+
b
1
q
3
+
...
+
b
1
q
n
-
1
)
+
b
1
q
n
.
Qavslarning ichida turgan ifodalar teng. Shuning uchun yuqoridagi
tenglikdan pastdagisini ayirib, hosil qilamiz:
S
n
-
qS
n
=
b
1
-
b
1
q
n
.
Bundan
S
n
(1
-
q
)
=
b
1
(1
-
q
n
),
n
n
b ( q )
q
S
-
-
=
1
1
1
.
Agar
q
=
1 bo‘lsa, u holda
=
+
+ +
=
n
n
S
b
b
... b
b n
1
1
1
1
ta qo‘shiluvchi
, ya’ni
S
n
=
b
1
n
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
