Pedagogika 015, 6-son Muassis: Nizomiy nomidagi Toshkent

PEDAGOGIKA
2015, 6-son
 
 
87 
ixtiyoriy о‘zgarmasga ega formula bilan ifodalangan kо‘rsatilgan funksiyalar 
tо‘plami berilgan tenglamaning yechimi bо‘lishini tekshirib kо‘rish taklif etiladi. 
Talabalarga shunday masala ham berish mumkin: 
tg 
og‘irlik kuchi ta’siri 
ostida 
t –
massaga ega jism yuqoridan pastga qarab tashlandi, bu yerda 
k 
– 
qarama-qarshilik koeffitsiyenti, 
v – 
tezlikka proporsional bо‘lgan, qarshilik 
kо‘rsatuvchi kuchlar 
F
mp
= - kv
. Jism harakat tezligini 
t –
vaqtga bog‘liqligini 
toping. Bu masalaning yechimida о‘qituvchi va talaba о‘rtasida bunday 
munozara bо‘lishi mumkin:
О‘qituvchi
: masalaning matematik modelini tuzamiz. Mazkur masaladagi 
jism qanday fizik qonuniyat bо‘yicha harakatlanmoqda? Uni qanday ifodalash 
mumkin?
Talaba
:
 
Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalanib yechsak, quyidagi m
dv
dt
=mg-kv kо‘rinishdagi matematik model hosil bо‘ladi.
О‘qituvchi: 
Bunday kо‘rinishdagi matematik model birinchi tartibli 
differensial tenglama hisoblanadi. Bunda 
dv
dt
hosila qanday mexanik ma’noni 
anglatadi?
Talaba: 
Mazkur hosila qaralayotgan jismning harakat tezlanishi ma’nosini 
anglatadi.

Shundan sо‘ng talabalarga о‘rniga qо‘yish orqali 
v(t)=
𝑚𝑔
𝑘
+C 
𝑒
−𝑘𝑡
𝑚
(
C
– ixtiyoriy о‘zgarmas son) funksiyalar tо‘plami bu tenglamaning yechimi 
bо‘lishini tekshirib kо‘rish taklif etiladi. Buning uchun olingan natijani tahlil 
qilib chiqiladi:
1)
t=0 vaqt momentida jism v(0)=v
0 
boshlang‘ich tezlik bilan harakatni 
boshlaydi. 
2)
 C= v
0 
- 
𝑚𝑔
𝑘
 bо‘lganda v(t)= 
𝑚𝑔
𝑘
(1-
𝑒
−𝑘𝑡
𝑚
) +v
0
∙ 
𝑒
−𝑘𝑡
𝑚
. 
Yuqoridagilardan t→∞ da yechim qanday kо‘rinishda bо‘lishini ham 
topish mumkin: 
v
∞
=
𝑚𝑔
𝑘
, 
chunki 
𝑒
−𝑘𝑡
𝑚
→ 0
. 
Mazkur mashg‘ulotlar davomida differensial tenglamalar, oddiy 
differensial tenglamalar, tenglama tartibi, yechim yoki integral haqidagi umumiy 
tushunchalar ham rejaga kiritiladi. Tenglamalarning differensiallar orqali 
ifodalanadigan masalalari haqida alohida tо‘xtalib о‘tiladi va bunda masalalarni 
muammoli ta’lim metodi orqali quyidagi bosqichlarni amalga oshirish maqsadga 
muvofiq hisoblanadi: 
1. Matematik modelini tuzish. 
2. Tenglamani bevosita yechish. 

---