Mavzu: p va np sinflari. Np to’liq masala tushunchasi

Ko'proq atamalar va ta'riflar: -
•
NP-qiyin - agar X 
∈
NP X-ga tushadigan bo'lsa, X muammosi 
kamida NPda hal 
qilinadi
, masalan NP-ning har bir muammosini hal qilish qiyin (agar P! = NP 
bo'lsa, unda X P ga tegishli bo'lmaydi). 
•
Reduksiya - A muammoni kiritishlarni ko'paytma 
vaqt algoritmidan foydalanib
, B 
muammosining ekvivalent kirishiga aylantirish jarayoni. 
Ekvivalent degani
, A va B 
muammolari kirish va o'zgartirilgan kirish uchun bir xil javobni (Ha yoki Yo'q) 
berishi kerak. A dan B gacha qisqartirish algoritmining mavjudligi quyidagilarni 
nazarda tutadi: 
1. Agar B 
∈
P bo'lsa, u holda A 
∈
P (ko'paytmali vaqt ichida A dan B gacha 
qisqartirishingiz mumkin va B polinomik vaqt ichida echishingiz mumkin. Buni 
birlashtirish A uchun ko'p vaqtli algoritmni beradi) 
2. Agar B 
∈
NP bo'lsa, unda A 
∈
NP 
3. Agar A NP-qattiq bo'lsa, B - NP-qattiq. A ko'paytirilgan vaqt ichida B ga kamayishi 
mumkin va agar B NP-qiyin bo'lmasa, u B B NP-NP-qiyin va bu A 
∈
 
NP-NP-qattiq
, bu 
farazga zid (A-NP-qiyin) degan ma'noni anglatadi. 
•
NP-to'liqligi - agar X 
∈
NP va X bo'lsa, NP-qiyin bo'lsa, X muammo NP-
tugallanadi. 
•
Muammo 
NP-tugaganligini isbotlash
 
Muammoning to'liqligini isbotlash 2 bosqichni o'z ichiga oladi. Avval biz muammo 
NPga tegishli ekanligini ko'rsatishimiz kerak va keyin biz buni NP-qiyinligini 
ko'rsatishimiz kerak. Bosqichlarni quyidagicha izohlash mumkin: 
1-qadam - X 
∈
NP ni ko'rsatish. X uchun netereterministik algoritmni toping. 

---

Ammo amaliy usul, agar potentsial echim taqdim etilsa, X uchun ko'paytmali vaqt 
tekshiruvini o'tkazishdir. 
2-qadam - X-ni ko'rsatish qiyin emas. Ma'lum NP-muammoni X-ga qisqartirish. 
Demak, biz ko'rgan 3-rasm orqali X bu NP-qiyin ekanligini anglatadi.
•
Bu masala qisqa P va NP murakkab sinfi tengmi? 
•
P-
sinfi deb kompyuter “tezda”(“Birzumda”) yechimi mumkin bo’lgan masalalar 
majmuiga aytiladi. Bunga arifmetik amallarning asosi (negizi) ro’yh
atlarni 
saralash, jadval bo’yicha ma’lumotlarni izlash kiradi.
NP-
sinfiga javobning to’g’riligini tezda tekshirish mumkin bo’lgan masala kiradi. 
Masalan: faraz qilaylik sizda qiymati 2,3,5,6 va 7 so’mlik tangalardan bittadan bor 
va siz narxi 21 so’m bo’lgan harid uchun qaytimsiz to’lashni hoxlamoqdasiz. 
Ulardan yig’indisi 21 so’m bo’lgan tangalarni yig’ib olish mumkinmi?
Bu masalaga javob olish uchun har hil variantni tanlash lozim, agar masala 
yechimini yo’qligini isbotlasmoqchi bo’lsak, umuman olganda barcha bo’lishi 
mumkin bo’lgan variantlardni tanlash lozim. Agar tangalar sonini bir necha usulda 
ko’paytirsak yechish mutlaqo nomuvofiq ko’rinishda bo’ladi. Bunda natijani oson 
tekshirish uchun shunchaki barcha “ming yillik masalasi” ning mohiyati 
quyidagich
a (bunday) ifodalanadi (ta’riflanadi): P va NP sinflari tengmi? Agar 
masala yecvhimining to’g’riligini tekshirish oson bo’lsa, masalani o’zini yechish 
ham oson bo’lishi mumkinmi?
Ko’pchilik mutaxassislar javobning yo’qligi (salbiy)ga amindirlar, lekin buni
hozircha hech kim isbotlay olgani yo’q agar P=NP bo’lib qolsa, unda insoniyatni 
kriptografiyaga (sirli belgi va ishoralar bilan yozish tizimi) keskin burilish 
ko’taradi.
NP-
to’liqlik
masalasi 
Amaliy nuqtai nazardan qiziq bo‘lgan
 
vazifalarning aksariyati
, polinomial' 
(polinomial' vaqt mobaynida ishlovchi) algoritmlar. Ya'ni, n uzunlikdagi kirishda 
algoritmning ishlash vaqti doimiy k (kirish uzunligidan mustaqil) uchun O(nk) dan 
oshmaydi. Har bir masalada ushbu xususiyatni qondiradigan yechim algoritmi 
mavjud emas. Ba'zi masalalarni umuman biron bir algoritm yordamida hal qilib 
bo‘lmaydi. Bunday masalaning klassik misoli bu “to‘xtash muammosi” (berilgan 
dastur 
berilgan kirishda to‘xtashini bilish). Bundan tashqari, ularni hal qiladigan 
algoritm mavjud bo‘lgan masalalar mavjud, har qanday bunday algoritm uzoq 
vaqt ishlaydi 
–
uning ishlash vaqti har qanday fiksirlangan k soni uchun O(nk) 
bo‘la olmadi.
Agar biz am
aliy algoritmlar va faqat nazariy qiziqish algoritmlari o‘rtasida qo‘pol, 
ammo rasmiy chegara chizishni istasak, unda ko‘plikli vaqt ichida ishlaydigan 
algoritmlar sinfi birinchi o‘rinda turadi. NP 
-
to‘liq deb nomlangan masalalar sinfini 
ko‘rib chiqamiz. U
shbu masalalar uchun hech qanday polinomial' algoritmlar 
topilmagan, ammo bunday algoritmlar mavjud emasligi isbotlanmadi. NP bilan 
bog‘liq muammolarni o‘rganish “P = NP” deb nomlangan savol bilan bog‘liq. Bu 
savol 1971 yilda berilgan va hozirda hisoblash nazariyasida eng qiyin 
masalalardan biri hisoblanadi. 
Nima uchun dasturchi NP 
–
tugallangan masalalar haqida bilishi kerak? Agar 

---

biron bir NP 
–
to‘liqlik uchun uning to‘liqligini isbotlash mumkin bo‘lsa, uni deyarli 
hal qilib bo‘lmaydi deb hisoblash uchun
asos bor. Bunday holda, uni aniq hal 
qiladigan tezkor algoritmni qidirishni davom ettirishdan ko‘ra, taxminiy algoritmni 
tuzishga vaqt sarflash yaxshiroqdir. 
Polinom vaqti. 
Abstrakt masalalar
 
Yuqorida aytib o‘tilganidek, ko‘p jihatdan hal qilinadigan (polinomial) masalalar 
konsepsiyasi amalda yechilishi mumkin bo‘lgan masalalar g‘oyasini 
takomillashtirish hisoblanadi. Ushbu kelishuvni nima tushuntiradi? Birinchidan, 
amalda ishlatiladigan ko‘pay
tirilgan algoritmlar, odatda juda tez ishlaydi. 
Ikkinchidan, polinomial algoritmlar sinfini ko‘rib chiqish, bu sinfning hajmi ma'lum 
bir hisoblash modelini tanlashdan deyarli mustaqil bo‘lishidir. Masalan, tasodifiy 
tasodifiy kirish mashinasida (RAM) ko‘pa
ytirilgan vaqt ichida yechilishi mumkin 
bo‘lgan masalalar sinfi T'yuring mashinalarida polinomal yechiladigan masalalar 
sinfiga to‘g‘ri keladi. Sinf parallel hisoblash modeli uchun bir xil 
bo‘ladi,
prosessorlar soni, kirish uzunligi polinomi bilan cheklangan. Uchinchidan, 
polinomal yechiladigan masalalar sinfi tabiiy yopiqlik xususiyatlariga ega. 
Masalan, ikkita algoritmning tarkibikompozisiyasi ham polinomial vaqtli ishlaydi. 
Buning sababi, ko‘pxadlarning yig‘indisi, ko‘paytmasi va kompozisiyasi 
ko‘pxadrdi
r. 
Quyida hisoblash masalasining abstrakt modelini keltirilgan. Buni 
abstrakt masala 
deb nomlaymiz
, Q 
–
ikkita to‘plam elementlari orasidagi ixtiyoriy binar 
munosabat: I 
–
sh
artlar to‘plami va S –
yechimlar to‘plami. 
Masalan, 
G=(V,E) 
yo‘naltirilmagan grafning berilgan ikkita uchlari orasidagi eng 
qisqa yo‘lni topish masalasida, shart (element I) uch element, graf va ikkita 
qirradan iborat va yechim (S element) 
–
bu grafda kera
kli yo‘lni tashkil etuvchi 
vertikallarning ketma-ketligi. 
NP to‘liqligi nazariyasida faqat hal qilish masalalari ko‘rib chiqiladi –
muayyan 
savolga “ha” yoki “yo‘q” deb javob berish kerak bo‘lgan masalalar. Rasman, I 
to‘plam shartlarini
{0,1} 
to‘plamga to‘g‘ri keladigan funksiya sifatida ko‘rib 
chiqilishi mumkin. Masalan, 
G=(V,E
) grafdagi eng qisqa yo‘lni topish masalasi 
bilan berilgan 
G=(V,E) graf yordamida ikkita tugun u, v
∈
V va natural k butun 
sonlar u va v tugunlari orasida undan katta bo‘lmagan hamda G grafda yo‘l bor 
yoki yo‘qligi masalasini yeching.
Optimallashtirish bilan bog‘liq masalalar bu –
muayyan miqdordagi qiymatni 
maksimal darajada oshirish yoki minimallashtirish kerak bo‘lgan masalalardi. NP –
to‘liqlik haqida savol berishdan
 
oldin bunday masalalar
, ularni hal qilish 
masalalariga aylantirilishi kerak. Shunday qilib, masalan, grafdagi eng qisqa yo‘lni 
topish masalasida optimallashtirish masalasini yechish masalasidan ruxsat berish 
masalasiga o‘tdik va yo‘l uzunligiga cheklov qo‘shdik. Agar transformasiyadan 
keyin NP 
–
to‘liq
masalasi yuzaga kelsa, unda asl muammoning qiyinligi ham 
belgilanadi. Ma'lumotlar taqdimoti 
Kirish ma'lumotlarini (y
a'ni I to‘plamning elementi) algoritmga kiritishdan oldin 
ularning qanday qilib “kompyuterga qulay” tarzda taqdim etilishi to‘g‘risida 
kelishib olish kerak. Dastlabki ma'lumotlar bitlar ketma-ketligi bilan kodlangan 

---

deb qabul qilamiz. Formal aytganda, S to
‘plamining elementlarini ifodalash bu S 
dan e ni bitli satrlar to‘plamlariga tushishidir. Masalan
, (0, 1, 2, 3,...) 
–
butun 
sonlarni, odatda 
(0, 1, 10, 11, 100, ...) 
–
bitli satrlar bilan ifodalanadi. 
Taqdim qilingan ma'lumotlarni joylashtirb, mavhum masalani satrli 
ma'lumotga 
aylantiramiz
, bu satirli ma'lumot uchun kirish ma'lumotlari, 
masalaning dastlabki ma'lumotlarini aks ettiruvchi bitli satir bo‘la
di. Kirish 
ma'lumotlari (bitli satr) n 
–
uzunlikda bo‘lganida, algoritmning ishlash 
vaqti 
O(T(n)) 
–
bo‘lsa, algoritm satirli masalani
O(T(n)) vaqtda yechadi desak 
bo‘ladi. Agar k konstanta va
O(T(n)) vaqt ichida bu masalani yechadigan algoritm 
mavjud bo‘ls
a, satirli masala polinomial' deb ataladi. Murakkablik P sinfi 
–
bu 
barcha satirli masalalar bo‘lib, polonomia' vaqt ichida yechilishi mumkin, 
ya'ni, 
O(n
k
) 
vaqt ichida yechilishi mumkin, bu yerda k kirishga bog‘liq bo‘lmaydi.
Polinomial abstrakt masalasining konsepsiyasini aniqlashni 
istagan holda
, biz turli 
xil ma'lumotlarni taqdim etish mumkinligiga duch kelamiz. 
Xar bir taqdim qilingan e to‘plam uchun, I kirishlari bo‘lgan Q abstrakt 
masalaning satirli masalasini olamiz. 
Biroq, amalda (asosi 1 bo‘lgan raqamli tizim kabi “qimmat” vakillik usull
arini 
istisno qilsak), tabiiy vakillik usullari odatda ekvivalentdir, chunki ularni bir-biriga 
ko‘p jihatdan aylantirish mumkin. A polinomial algoritmi mavjud 
bo‘lsa,
f
:{0,1}*→{0,1}* funksiyasi polinimial vaqt ichida hisoblab chiqiladi, u har 
qanday x
∈
{0,1}* uchun f(x) natijani beradi. 
Ixtiyoriy abstrakt masala uchun I to‘plami sharitlarini ko‘rib chiqamiz. I 
to‘plamning
е
1 va 
е
2 
elementlari polinomial' bog‘langan deyiladi, agar polinomial' 
vaqtda hisoblash mumkin bo‘lgan ikkita
f
12
(
e
1
(
i)) = e
2
(
i) va f
21
(
e
2
(
i)) 
= 
e
1
(
i), i 
∈
I 
funsiyalar mavjud bo‘lsa. Bunday hollarda, polinomial' bog‘langan 
ikkita elementdan qaysi birini tanlash muhim emas. 
P, NP, NP-complete (NP-
to‘liklik masalalari) sinflar orasidagi munosabatlar,
NP-
hard (NP-
murakkab masalalar), P≠NP va P=NP bo‘lgan xollarda.
NP- tuliklik masalasi 
—
algoritmlar nazariyasida NP 
–
sinfdagi «ha» yoki «yo‘k» 
javobli masalani shu sinfdagi boshka masalaga polinomial' vakt oralgida 
moslashtirish mumkin (yani, boshlangich ma'lumotlar xajmiga boglanganlik 
darajasi ma'lum polinimdan katta bulmagan amallar yordamida bajariladi). 
Shunday qilib, NP -
to‘liq
 
masalalar
, ma'lum ma'noda, NP sinfidagi “tipik” 
masalala
r to‘plamini shakllantiradi: agar ularning ba'zilari uchun "tezkor" yechim 
algoritmi topilsa, NP sinfidagi har qanday boshqa masalani xuddi shu tarzda hal 
qilish mumkin. 
Formal' ta'rif 
Alifbo deganda har qanday cheklangan belgilar to‘plami tushuniladi (masalan,
{0, 
1} yoki {a, b, c}
). Ixtiyoriy ∑ alifbosidan tuzilgan barcha so‘zlar to‘plami (yozilgan 

---

satirlar, ushbu alifboning belgilaridan tashkil topadi) ∑* bilan belgilanadi.
∑ alfavit
yordamida yaratilgan ixtiyoriy L tili bu ∑^* to‘plamning L to‘plam ostisi, 
ya'ni L
⸦∑^*.
•
L uchun tanib olish vazifasi berilgan so‘z L tiliga tegishli yoki yo‘qligini aniqlashdir.
•
∑ alifbo ustida
va - 
ikkita til bo‘lsin.
tiliga (Karp bo‘yicha)
L
2
tiliga qisqartirish 
deyiladi, agar 
funksiyasi mavjud bo‘lsa, bu funksiyani polinomial' vaqt bilan 
hisoblash mumkin bo‘lsa, quyidagi xususiyatga yega: :
x 
∈
L
1
, , agar va faqat 
agar . 
Karp bo‘yicha qisqartirish
L
1
≤
p
L
2 
bilan belgilanadi. 
•
Agar NP-dan biron bir til unga qisqartirilsa, tili NP-
to‘liq deb nomlanadi.
 
Til NP-
mukammal deb nomlanadi
, agar u NP-
qiyin bo‘lsa va shu bilan birga o‘zi NP 
sinfida bo‘lsa.
•
A masala B masalasiga qisqartirilganligi, A 
masala B masalasidan ko‘ra 
“murakkabroq” ekanligini anglatadi (chunki agar biz B masalani yechilishi, A 
masalanini ham yechilishini bildiradi). Shunday qilib, NP bilan bog‘liq qiyinchiliklar 
sinfga NP bilan bog‘liq masalalar va ular uchun "ancha qiyin" bo‘
lgan masalalar 
kiradi (ya'ni NP bilan bog‘liq masalalarni kamaytirish mumkin bo‘lgan masalalar). 
NP sinf NP to‘liq masalalarni va ulardan "osonroq" bo‘lgan masalalarni o‘z ichiga 
oladi (ya'ni, NP-
to‘liq masalalarga qisqartirishgan masalalar).
•
Ta'rifdan shunday xulosa kelib chiqadiki, agar NP-
to‘liq masalasi polinomial' 
vaqtda hal qiladigan algoritm topilsa, unda barcha NP-
to‘liq masalalar
 
P sinfga 
joylashtiriladi
, ya'ni ular polinomial' vaqtda yechiladi.