211
Misol 2.
Ushbu
2
3
4
x
x
y
y
x
y
sistemaning muvozanat nuqtasini tekshiring.
Ravshanki, muvozanat nuqtasi (0;0) . Berilgan sistema uchun
A
matritsa va uning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:
2
1
3
4
A
,
2
2
1
det(
)
6
5
0
3
4
A
E
.
Xos sonlar haqiqiy, bir xil manfiy ishorali:
1
2
1,
5
. Demak,
muvozanat nuqtasi turgʻun tugun. Trayektoriyalar manzarasini chizish uchun
A
matritsaning
1
2
,
xos sonlariga mos keluvchi xos vektorlarini topaylik:
1
1
1
1
2
1
2
1
1
0
1
1; (
)
0;
;
1;
3
3
0
1
h
A
E
h
h
h
h
h
.
2
2
1
2
2
1
5; (
)
0;
1,
3;
3
A
E
h
h
h
h
.
Demak, trayektoriyalar moduli boʻyicha kichik xos son
1
1
ga mos
keluvchi
1
1
1
h
vektorga (shu vektor orqali oʻtuvchi trayektoriyaga) urinadi.
Trayektoriyalar boʻylab harakatlanuvchi nuqta (0;0) nuqtaga yaqinlashadi.
Trayektoriyalar manzarasi 16.8- rasmda koʻrsatilgan.
16.8- rasm (misol 2 uchun).
Misol 3.
Ushbu
2
4
x
x
y
y
x
y
sistemaning muvozanat nuqtasini tekshiring.
Muvozanat nuqtasi (0;0) .
Sistema uchun
A
matritsa, uning xarak-
teristik tenglamasi va xos sonlarini hamda xarakteristik vektorlarini topamiz:
1
2
4
1
A
;
2
1
2
det(
)
9
0;
3,
3
A
E
.
212
1
1
1
1
1
3; (
)
0;
2
A
E
h
h
;
2
2
2
2
1
3; (
)
0;
1
A
E
h
h
.
Xarakteristik sonlar
1
3
va
2
3
turli ishorali boʻlgani uchun muvozanat
nuqtasi - egar.
1
h
va
2
h
xos vektorlar toʻrt dona nurlardan iborat boʻlgan
(toʻgʻri) trayektoriyalarni aniqlaydi.
16.9- rasm (misol 3 uchun).
Boshqa egri trayektoriyalar uchun ana shu toʻgʻri trayektoriyalar asimptotalar
boʻlib xizmat qiladi (16.9- rasm.).
III.
Nochiziqli avtonom sistema (1) ni tekshirish uchun uni har bir
muvozanat nuqtasi atrofida chiziqlilashtirish metodidan foydalanamiz. ( , )
f x y
va ( , )
g x y
funksiyalar
berilgan sohada
2
C
sinfga tegishli deb faraz qilamiz.
(1)
avtonom sistemaning maxsus nuqtalari
( , )
0 ,
( , )
0
f x y
g x y
(5)
sistemadan topiladi.
0
0
( ,
)
x y
maxsus nuqtaning (
0
0
0
0
(
,
)
0 ,
(
,
)
0
f x y
g x y
)
tabiatini tekshirish uchun bu nuqta atrofida
( , )
f x y
va ( , )
g x y
funksiyalarni
Teylor formulasiga koʻra
tasvirlab
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
( , )
(
)
(
)
(
),
,
,
(
,
)
(
,
)
( , )
(
)
(
)
(
),
,
,
f x y
f x y
f x y
a x
x
b y
y
O r
a
b
x
y
g x y
g x y
g x y
c x
x
d y
y
O r
c
d
x
y
2
2
0
0
(
)
(
)
0
r
x
x
y
y
,
ularni chiziqli funksiyalar bilan almashtiramiz:
0
0
0
0
( , )
(
)
(
) ,
( , )
(
)
(
).
f x y
a x
x
b y
y
g x y
c x
x
d y
y
213
Bu almashtirish natijasida (1) sistema oʻrniga
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
x
a x
x
b y
y
y
c x
x
d y
y
(6)
chiziqli sistemani hosil qilamiz. Ushbu
0
0
,
x
x
u y
y
v
almashtirish
yordamida
0
0
( ,
)
x y
maxsus nuqtani koordinatalar boshiga koʻchiramiz. Natijada
u
u
A
v
v
(
bunda
0
0
(
,
)
)
x
y
x
y
x y
f
f
a
b
A
c
d
g
g
(7)
tenglamalarga kelamiz. Hosil boʻlgan
(
7
)
(yoki (6)) chiziqli sistema (1) nochiziqli
avtonom
sistemaning
0
0
( ,
)
x y
maxsus nuqta atrofida chiziqlilashtirilishi (yoki
birinchi yaqinlashishi) deyiladi. (7) sistemaning (0, 0) maxsus nuqtasi, ya’ni
(1) sistemaning
0
0
( ,
)
x y
maxsus nuqtasi tabiatini quyidagi teorema ochadi.
7
0
.
Agar
A
matritsaning xos sonlari uchun
1
Re
0
va
2
Re
0
boʻlsa,
(1) nochiziqli sistema (0, 0) maxsus nuqtasining tipi (turi) chiziqlilashtirilgan
(7) sistemaning maxsus nuqtasi tipi (turi) bilan bir xil. Bunda trayektoriyalar-
ning buralish va maxsus nuqtaga yaqinlashish yoki undan uzoqlashish
yoʻnalishlari hamda turgʻunlik tabiatlari saqlanadi.
Berilgan (1) sistemaning barcha maxsus nuqtalari tabiatini chiziqlilash-
tirish yordamida tekshirib, ba’zi sohalarda tezliklar maydoni yoʻnalishlarini
aniqlab, trayektoriyalari manzarasi quriladi.
Misol 4.
Ushbu
2
2
2
1
x
x
y
y
x
y
sistemaning maxsus nuqtalari tabiatini tekshiring va trayektoriyalar portretini
quring.
Berilgan
misolda
2
2
( , )
2
1,
( , )
.
f x y
x
y
g x y
x
y
Muvozanat
(maxsus) nuqtalarini (5) ga koʻra topamiz:
2
2
2
1
0
0
x
y
x
y
Bu sistemani yechib, ikkita muvozanat nuqtani hosil qilamiz: (1;1) va (1; 1)
.
Berilgan avtonom sistemani har bir maxsus nuqta atrofida alohoda-alohida
chiziqlilashtiramiz. Dastlab xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
( , )
( , )
( , )
( , )
2 ,
2 ,
1,
2
f x y
f x y
g x y
g x y
y
y
x
y
x
y
.
(1;1)
nuqta atrofida birinchi yaqinlashishni
214
(1;1)
(1;1)
(1;1)
(1;1)
( , )
( , )
( , )
( , )
2 ,
2 ,
1,
2
f x y
f x y
g x y
g x y
x
y
x
y
qiymatlarga koʻra (7) formulaga asosan yozamiz:
u
u
A
v
v
,
(1;1)
2
2
1
2
x
y
x
y
f
f
A
g
g
.
Bu yerda shuni e’tirof etish lozimki, birinchi yaqinlashishni toʻgʻridan- toʻgʻri
Teylor formulasisiz ham hosil qilish mumkin. Buning uchun (1;1) nuqta
atrofida
1 ,
1
u
x
v
y
kichik oʻzgaruvchilarni kiritish kerak. Bunda
2
2
2
2
2
2
2
1
2(
1)
(
1)
1
2
2
2
2
1 (
1)
2
2
2
x
y
u
v
u
v
v
u
v
x
y
u
v
u
v
v
u
v
sababli berilgan sistema oʻrniga ushbu
2
2
2
u
u
v
v
u
v
chiziqlilashgan sistemaga kelamiz.
A
matritsaning xos sonlari va mos xos
vektorlarini aniqlaymiz:
1
2
2
2
det(
)
0 ;
2 ,
2 ;
1
2
A
E
1
1 1
1
2
2
,
;
1
A
Do'stlaringiz bilan baham: 
