Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

Misol 3.
Ushbu 
2
,
3
,
2
3
x
x
y y
x
y
z z
x
y
z





 

  

(28) 
sistemaning umumiy yechimini toping. Sistemaning fundamental matritsasini 
yozing. 

Berilgan sistema uchun
2
1
0
1
3
1
1 2
3
A













matritsaning xarakteristik sonlarini ushbu
det(
)
0
A
E



algebraik 
tenglamadan 
aniqlaymiz. 
Bu 
tenglamani 
yechib, 
1
2
3
2,
3
,
3
i
i




 
 
oddiy ildizlarni topamiz.
1
2


xarakteristik songa
1
2
2
3
t
x
s
y
e
s
z
s
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
koʻrinishdagi yechim mos keladi. Buni berilgan sistema (28)ga qoʻyib, 
1
2
3
,
,
s s s
larni aniqlaymiz (
3
1
s

tanlangan): 
1
1
2
2
3
3
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1 2
1
0
1
s
s
s
s
s
s
 
 


 
 
 
 


 
 




 
 


 
 


 
 
 
 



 
 
 
 
. 
Demak, 
1
2


xarakteristik songa mos yechim 

---

196
2
1
0
1
t
x
y
e
z
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
.
(29) 
Endi 
2
3
i

 
xos songa mos kelgan
(3
)
i t
x
a
y
e
b
z
c

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
yechimlarni topamiz. Buni berilgan sistemaga qoʻyamiz va , ,
a b c
larni 
topamiz: 
0
1(tanlangan) ,
1
1
0
1
1
0
1
,
1
2
0
2
.
a
a
i
i
b
b
i
i
c
c
i

 
   




   






 

   



   



 

   

Demak, sistema yechimi
(3
)
3
1
2
1
1
1
1
2
1
0
i t
t it
x
y
e
i
e e
i
z
i




 


 




 


 








 


 


 


 





 


 




yoki, 
(cos
sin )
it
e
t
i
t


Eyler formulasiga koʻra haqiqiy va mavhum qismlarni 
ajratsak, 
3
3
cos
sin
cos
sin
cos
sin
2 cos
sin
2sin
cos
t
t
x
t
t
y
e
t
t
ie
t
t
z
t
t
t
t
 




 








 




 






 




. 
Yechimning haqiqiy va mavhum qismlari ham yechim boʻlgani uchun bundan 
3
i

 
xarakteristik sonlarga mos kelgan ikkita haqiqiy yechimni aniqlaymiz 
3
cos
cos
sin
2 cos
sin
t
x
t
y
e
t
t
z
t
t
 


 




 


 



 


, 
3
sin
cos
sin
2sin
cos
t
x
t
y
e
t
t
z
t
t
 


 




 


 



 


. (30) 
Endi (28) sistemaning umumiy yechimini (29) va (30) bazis yechimlarning 
ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi sifatida yozamiz 
2
3
3
1
2
3
1
cos
sin
0
cos
sin
cos
sin
1
2 cos
sin
2sin
cos
t
t
t
x
t
t
y
c e
c e
t
t
c e
t
t
z
t
t
t
t
 
 




 
 









 
 




 
 






 
 




. 
Fundamental matritsa (25) va (26) chiziqli erkli yechimlarni ustunlar boʻylab 
yozishdan hosil boʻladi: 

---

197
2
3
3
3
3
2
3
3
cos
sin
( )
0
( cos
sin )
(cos
sin )
(2 cos
sin )
(2sin
cos )
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
t
e
t
t
e
t
t
e
t
t
e
e
t
t
e
t
t
















.

Misol 4.
Ushbu
1
1
0
4
2
1
4
1
2
A




 








matritsa uchun 
At
e
ni hisoblang. 

Hisoblashni matritsaning Jordan koʻrinishidan foydalanib bajaramiz. 
Berilgan matritsaning bitta uch karrali 
1

 
xarakteristik soni bor. Unga mos 
kelgan xos vektorlarni aniqlaymiz: 
1
2
3
2
1
0
0
(
)
0,
4
1
1
0
4
1
1
0
h
A
E
h
h
 


 
 


 





 


 


 
 



 
 
h
. 
Xos vektor bitta (oʻzgarmas koʻpaytuvchi aniqligida): 
1
1
2 .
2





 






h
h
Demak, yana ikkita umumlashgan xos vektor bor. Ularni topamiz: 
1
2
1
2
2
3
2
1
0
1
1 2
(
)
,
4
1
1
2 ,
0
;
4
1
1
2
0
/
h
A
E
h
h
 






 










 

 












 







 
h
h
h
1
3
2
2
3
3
2
1
0
1 2
1 4
(
)
,
4
1
1
0
,
0
.
4
1
1
0
1
/
/
h
A
E
h
h
 






 












 











 






 
h
h
h
Endi 
1
1
2
3
1
1 2
1 4
0
1 2
0
[
]
2
0
0
,
2
1 2
1 2
2
0
1
0
1
1
/
/
/
/
/
S
S











 














h h h
matritsalarni tuzamiz. Shunday qilib, 
1
1
1
0
,
0
1
1
0
0
1
A
SJS
J
















. 

---

198
Yuqoridagi (15) formulaga koʻra
2
2
0
0
0
t
t
t
Jt
t
t
t
t
e
te
e
e
e
te
e












 







. 
Demak,
2
1
2
2
(
2)
(2
1)
2
2
4
(
1)
(
1)
4
(
1)
(
1)
t
t
t
At
Jt
t
t
t
t
t
t
te
t
t e
e
t
e
Se S
te
e
t
t
te
t
te
te
t
e
t
t






















 







 






. 

Misol 5.
Berilgan
1 9
0
1 5
0
1 3
2
A





 







matritsa uchun 
At
e
ni hisoblang. 

At
e
ni 
A
matritsaning Jordan koʻrinishidan foydalanib hisoblaymiz. 
A
matritsaninig xaraktestik sonlarini topamiz: 
3
2
3
det(
)
(
6
12
8)
(
2)
0
A
E






 


   

; 
2


uch karrali xarakteristik son. Xos vektorlarni aniqlaymiz: 
1
2
3
3 9
0
0
(
2 )
0,
1 3
0
0
1 3
0
0
h
A
E
h
h

 


 
 


 




 


 


 
 



 
 
h
, 
Ikkita chiziqli erkli xos vektor mavjud:
0
0
1
 
 
  
 
 
v
, 
1
3
1 .
1
 
 
  
 
 
h = h
Umumlashgan xos vektor 
2
h
uchun 
1
2
1
2
3
3 9
0
3
(
2 )
,
1 3
0
1
1 3
0
1
h
A
E
h
h

 


 
 


 




 


 


 
 



 
 