|
c
koʻrinishda izlaymiz. Noma’lum ( )
t
c
vektor-funksiya uchun (9) ga koʻra
2
( )
( )
2
t
e
t
t
t
c
tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning har ikkala tomonini
1
1
( )
2
t
t
t
t
e
e
t
e
e
178
teskari matritsaga koʻpaytirib ( )
t
c
ni, soʻngra esa ( )
t
c
ni topamiz.
1
2
( )
( )
2
t
e
t
t
t
c
yoki skalyar koʻrinishda
2
1
2
( )
( ) 1
t
t
t
c t
e
te
c t
te
Bu sistemadan integrallashlarni bajarib,
1
2
( )
( )
( )
с t
t
с t
c
, bunda
2
1
2
1
( )
2
( )
t
t
t
t
t
с t
e
te
e
с t
t te
e
,
boʻlishini topamiz (integrallashlar oʻzgarmaslarini nolga teng deb oldik).
Demak, berilgan bir jinsli boʻlmagan sistemaning xususiy yechimi
( )
( )
x
t
t
y
c
, ya’ni
2
1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
te
e
x
e
e
y
e
e
t
te
e
koʻrinishda boʻladi. Bu xususiy yechimga bir jinsli tenglamaning
1
2
( )
c
x
t
y
c
, ya’ni
1
2
t
t
t
t
c
x
e
e
y
c
e
e
umumiy yechimini qoʻshib, berilgan sistemaning umumiy yechimini hosil qilamiz:
2
1
2
1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
te
e
с
x
e
e
y
e
e
t
te
e
с
yoki skalyar koʻrinishda
1
2
1
2
1
2
2
1
.
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
x
c e
c e
te
e
t
y
c e
c e
te
e
Faraz qilaylik, berilgan
1
11
12
21
22
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
( )
, ... ,
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
nn
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
t
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
vektor-funksiyalar
I
oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi va ularning
Vronskiani noldan farqli boʻlsin, ( ) 0
W t
. Ushbu
179
1
2
( )
( )
( )
( )
n
x t
x t
t
x t
x
x
vektor-funksiyaning koordinata funksiyalari
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
x t x t
x t
ga nisbatan
chiziqli differensial tenglamalar sistemasi
1
2
1
11
12
1
1
2
1
2
( )
( )........
( )
( )
( )........
( )
..........................................
1
( )
( )........
( )
( )
..........................................
( )
( )........
j
j
j
jn
n
j
j
j
jn
n
n
n
x
x
t
x
t
x
t
x x
t
x
t
x
t
x
x
t
x
t
x
t
W t
x
x
t
x
t
x
0,
1, ,
( )
nn
j
n
t
(13)
uchun berilgan
1
( ),...,
( )
n
t
t
x
x
x
x
funksiyalar yechimlardir
( ) ,
k
t
(x
x
1,
,
k
n
boʻlganda bu determinantning 1- va (
1)
k
- ustunlari bir xil). (13)
dagi
j
- determinantning birinchi satri uning
j
- satri hosilasidan iborat. (13)
dagi determinantlarni birinchi ustun boʻyicha yoyib (Laplas formulasiga koʻra)
1
1
2
2
1
( )
( )
( )
...
0,
1, ,
( )
j
j
j
jn n
W t x
b t x
b
t x
b x
j
n
W t
ya’ni
1
2
1
2
( )
( )
...
,
1, ,
( )
( )
( )
j
j
jn
j
n
b
t
b
t
b
x
x
x
x
j
n
W t
W t
W t
sistemaga kelamiz; bunda berilganga koʻra
1
2
( )
[
( ),
( ),...,
( )]
0.
n
W t
W
t
t
t
x
x
x
(13) sistemani boshqacha usulda ham tuzish mumkin. Agar berilgan
vronskiani noldan farqli vektor-funksiayalardan
11
12
1
21
22
2
1
2
( )
( ).....
( )
( )
( ).....
( )
( )
.
.
.
.
( )
( )......
( )
n
n
n
n
nn
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
x
t
x
t
x
t
matritsani tuzsak, ushbu
1
( ) ,
( )
( )
( ),
A t
A t
t
t
x
x
(14)
normal sistemaning bazis yechimlari berilgan funksiyalardan, fundamental
matritsasi esa tuzilgan ( )
t
dan iborat boʻladi.
180
Misol 3.
Berilgan
1
1
( )
cos
t
t
x
va
2
sin
( )
1
t
t
x
yechimlarga ega boʻlgan normal koʻrinishdagi 2 tartibli chiziqli differensial
tenglamalar sistemasini tuzing.
Berilgan vektor-funksiyalarning vronskiani
1
sin
( )
(2 sin 2 ) 2
cos
1
/
t
W t
t
t
ixtiyoriy
(
,
)
t
nuqtada noldan farqli va izlangan sistema (13) ga asosan
1
2
1
1
2
2
0 cos
sin
0
1
1
1 sin
0,
1
sin
0
( )
( )
cos
1
cos
1
x
t
x
t
x
t
x
t
W t
W t
x
t
x
t
koʻrinishga ega. Mos determinantlarni birinchi ustun boʻylab yoyamiz va
ixchamlashlarni bajarib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:
2
1
1
2
2
2
1
2
2 cos
2 cos
2 sin 2
2 sin 2
2sin
2sin
2 sin 2
2 sin 2
t
t
x
x
x
t
t
t
t
x
x
x
t
t
(
)
t
. (15)
Bu izlangan sistemadir.
Eslatma.
Berilgan vektor-funksiyalardan
1
sin
( )
cos
1
t
t
t
matritsani tuzib, (14) formulaga koʻra normal sistemani tuzsak ham oʻsha (15)
sistemani hosil qilamiz.
Masalalar
Vektor-funksiyalarni chiziqli erklikka tekshiring (
1
-
5
):
1.
1
2
2
1
1
( )
,
( )
t
t
t
t
y
y
.
2.
1
2
3
1
2
1
( )
,
( )
,
( )
2
5
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
y
.
3.
1
2
1
0
( )
,
( )
2
t
t
t
t
t
t
y
y
.
181
4.
1
2
3
2
2
1
0
0
( )
2
,
( )
,
( )
2
3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
Do'stlaringiz bilan baham: |
