Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

II
.
3. 
Maxsus yechimni bir parametrli yechimlar oilasining o‘ramasi 
sifatida ham topish mumkin. Aytaylik, egri chiziqlarning ushbu
( , , )
0
x y c


(4) 
bir parametrli oilasi berilgan bo‘lsin (parametrli oila,). Agar berilgan egri chiziq 
(4) oilada bo‘lmasa va uning har bir nuqtasidan unga urinib (4) oilaning biror 
chizig‘i o‘tsa, u holda berilgan egri chiziq (4) oilaning o‘rama egri chizig‘i 
(o‘ramasi) deyiladi. Differensial geometriyadan ma’lumki, (4) ning o‘ramasi 
ushbu 
( , , )
0
( , , )
0
x y c
x y c
c









(5) 
sistemani qanoatlantiradi. Bu sistemaning yechimlari to‘plami (4) oilaning 
diskriminant chizig‘i deyiladi. Umumiy holda diskriminant chiziq tarkibida 
o‘ramadan tashqari qaytish nuqtalari (7.3- rasm) hamda tugun nuqtalari

---

93
(7.5- rasm) ham bo‘lishi mumkin.
7.5- rasm. Tugun nuqtalari 
Diskriminant chiziqdan o‘ramani ajratishda differensial geometriya 
kursidan ma’lum bo‘lgan quyidagi tasdiqdan foydalanish mumkin: agar 
diskriminant chiziqning biror silliq qismida
2
2
0
x
y





 











, 
bo‘lsa, u holda bu silliq qism o‘ramadan iborat bo‘ladi.
Misol 6.
Ushbu 
2
2
(2 3 )
4(1
)
y
y
y




differensial tenglamani yeching. Maxsus yechimlarini toping.

Berilgan tenglamani ushbu 
(2 3 )
2 1
y
y
y
 
 

o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar ko‘rinishida yozib olib, yechamiz: 
(2 3 )
2 1
y dy
dx
y



, 
1
(
)
y
y
x
c
   
. 
Demak, yechimlar oilasi
2
2
( , , )
(1
) (
)
0
def
x y c
y
y
x c


  

. 
tenglama bilan beriladi. Maxsus yechimlarni topish maqsadida bu yechimlar 
oilasining o‘ramasini aniqlaymiz. Daslab 
c

diskriminant chiziqni topamiz:
2
2
(1
) (
)
0
2(
)
0
y
y
x c
x c


 


 

Bu sistemadan 
c

diskriminant chiziq uchun ushbu 
2
(1
)
0
y
y


. 
tenglamani hosil qilamiz. Demak, 
1
y

va 
0
y

to‘g‘ri chiziqlar 
c

diskriminant 
chiziqni tashkil etadi. 
1
y

o‘rama bo‘ladi, chunki 


2
2
2
(1
) (
)
2(
),
2
3
y
y
x
c
x
c
y
y
x
x
y





 
 






; 

---

94
2
2
2
2 2
1
1
1
4(
)
(2
3
)
1
0
y
y
y
x
c
y
y
x
y














 










. 
c

diskriminant chiziqdagi 
0
y

to‘g‘ri chiziq, ravshanki, berilgan tenglamaning 
yechimi emas. U yechimlarning tugun nuqtalari to‘plamini beradi (7.6- rasmga 
qarang). 

7.6- rasm. O‘rama va tugun nuqtalar.