4-маъруза. Сонли кетма-кетлик лимити. Режа: 1

3.
 
Чексиз кичик миқдорлар.
Ўзгарувчи нолга интилган, яъни 
бўлган ҳол махсус аҳамиятга эгадир. 
 
Лимити нолга тенг бўлган 
 ўзгарувчи чексиз кичик миқдор, 
ѐки қисқача
 
чексиз кичик 
деб аталади. 
Агар ўзгарувчининг лимити таърифида 
деб фараз қилинса, у ҳолда 
(3) тенгсизлик қуйидаги шаклга келтирилади: 
|
| |
|
Шундай қилиб, чексиз кичикнинг юқоридаги таърифини, “лимит” 
терминини ишлатмасдан туриб мукаммалроқ қуйидагича бериш мумкин: 
Агар 
ўзгарувчи етарли катта бирор номердан бошлаб абсолют 
қиймати бўйича аввалдан берилган ҳар қанча кичик 
сондан ҳам кичик 
бўлса ва шундайлигича қолса, 
 ўзгарувчини чексиз кичик дейилади. 
Унчалик муваффақиятли бўлмаган (тарихий танланиб қолган) “чексиз 
кичик” миқдор термини ўқувчини англашилмовчиликка олиб бормасин: бу 
миқдорнинг алоҳида олинган ҳеч бир қийматини (агарда у нолга тенг 
бўлмаса) “кичик” деб қараш мумкин эмас. Чексиз кичикнинг моҳияти 
шундаки, у ўзгарувчи миқдор бўлиб, ўзининг ўзгариш процессидагина 
ихтиѐрий олинган 
сондан кичик бўлиш қобилиятига эга бўлади.
Агар лимити 
га тенг бўлган 
ўзгарувчининг умумий ҳолига қайтсак, 
ўзгарувчи билан унинг лимити орасидаги

---

 
айирма чексиз кичик миқдор бўлади; чунки (3) га асосан: 
| 
| | 
|
Аксинча, агар 
чексиз кичик бўлса, у ҳолда 
бўлади. Бу 
қуйидагини тасдиқлашга олиб келади: 
ўзгарувчининг лимити 
ўзгармас сон бўлиши учун улар орасидаги 
 айирма чексиз кичик миқдор 
бўлиши зарур ва етарлидир. 
Шу муносабат билан “лимит” тушунчасига бошқа (аввалгига тенг кучли) 
таъриф бериш мумкин: 
Агар 
ўзгарувчи билан 
ўзгармас сон орасидаги айирма чексиз кичик 
бўлса, у ҳолда 
 сон 
 ўзгарувчининг лимити дейилади. 
Агар лимитнинг бу таърифини асос қилиб олсак, у ҳолда чексиз кичик 
миқдор учун юқорида берилган таърифлардан иккинчисини олиш зарур 
бўлади. Акс ҳолда маъносизлик бўлар эди, чунки лимит- чексиз кичик 
миқдор орқали, чексиз кичик эса лимит орқали таърифланган бўлар эди! 
Шундай қилиб, агар 
бўлса, у ҳолда 
ўзгарувчини
 
шаклда ѐзиш мумкин, бунда 
чексиз кичик, ва аксинча, агар ўзгарувчини 
шу шаклда ифодалаш мумкин бўлса, унинг лимити 
бўлади. Бундан кўпинча 
ўзгарувчининг лимитини топишда фойдаланадилар. 
Мисоллар. 
1) Қуйидаги 
ўзгарувчиларни кўрайлик: уларга тубандаги кетма-кетликлар мос келади: 

---

Бу учала ўзгарувчи ҳам чексиз миқдордир, яъни уларнинг лимити нолга тенг. 
Ҳақиқатан, 
бўлсагина, улар учун: 
| 
|
 
Шундай қилиб, 
сифатида, масалан, 
касрнинг энг катта бутун қисмини, 
яъни 
(
)
ни олсак бўлади. 
Биринчи ўзгарувчи ўз лимити бўлган нолдан доимо катта, иккинчиси эса 
ундан ҳар доимо кичик, учинчиси эса галма-гал ўз лимити бўлган нолдан гоҳ 
катта ва гоҳ кичик бўлади. 
2) Агар
деб фараз қилинса, у ҳолда ўзгарувчи қуйидаги кетма-кет қийматларни қабул 
қилади. 
Бу ҳолда ҳам 
бўлади, чунки 
учун
 
Шундай қилиб, 
сифатида 
(
)
ни олиш мумкин.
Бу мисол ажойиб бир ҳусусиятга эга: ўзгарувчи ўз лимити бўлган 0 га гоҳ 
яқинлашиб, гоҳ узоқлашиб интилади.
3) Энди
бўлсин; бу ўзгарувчи билан биз 
нинг охирида иш кўрган эдик. Бу 
ҳолда ҳам ҳам 
бўлади, чунки 
(
)
учун: 
 

---

Бу мисолда 
нинг барча тоқ қийматларида ўзгарувчи ўз лимитига тенг 
бўлишини таъкидлаб ўтиш керак.