Geodeziya va marksheyderiya

Geometrik usul.
Agar poligon tomonlari to‘g‘ri chiziqli bo‘lib, poligonning 
o‘zi esa muntazam geometrik shaklda bo‘lsa, poligon diagonallar o‘tkazish yo‘li 
bilan uchburchaklik hamda trapetsiyalarga bo‘linadi. Hosil bo‘lgan uchburchaklik 
va trapetsiya yuzlari geometrik yo‘l bilan hisoblanib, bir-biriga qo‘shilsa, poligon 
yuzi chiqadi (7.1-shakl). 
7.1-shakl
. 
Masalan, 
ABCDE 
ko‘pburchaklikni 
AS 
diagonal 
ABC 
uchburchaklik bilan 
ACDE 
trapetsiyaga bo‘lgan. Agar uchburchaklik yuzini 
S
1
, 
trapetsiya yuzini 
S
2
, 
umumiy poligon yuzini 
S
desak, 

---

S=S
1
+S
2

(7.1) 
bo‘ladi. Agar 
AC=a, ED=b, BM=h
1
, NE=h
2
 
bo‘lsa, 
1
1
2
1
аh
S

,
 
2
2
)
(
2
1
h
b
а
S


 
bo‘ladi; ularni 8.1 formulaga qo‘ysak 


2
1
)
(
2
1
h
b
а
аh
S



chiqadi. 
Analitik usul.
Agar poligon tomonlari to‘g‘ri chiziqli, burchak uchlarining 
koordinatalari ma’lum bo‘lsa, poligon yuzi burchak uchlarining koordinatalari 
asosida hisoblab topiladi. 
Berilgan 
ABCD 
poligon (8.2-shakl) uchlarining koordinatalari 
A (x
1
, y
1
); B 
(x
2
, y
2
); S (x
3
, y
3
) 
va 
D (x
4
, y
4
)
burchak uchlarining 
u 
uqidagi proeksiyalari 
N, M, R 
va 
Q
bo‘lsin, 
ABCD 
poligonning yuzini 
S
desak u trapetsiyalar yuzi orqali 
quyidagicha aniqlanadi: 
S=NABR yuzi + PBCQ yuzi
—
NADM yuzi—MDCQ 
yuzi. 
Bu trapetsiyalar yuzini koordinatalar orqali ifodalasaq quyidagicha yoziladi: 
)
)(
(
2
1
)
)(
(
2
1
)
)(
(
2
1
)
)(
(
2
1
4
3
3
4
1
4
4
1
2
3
3
2
1
2
2
1
у
у
х
х
у
у
х
х
у
у
х
х
у
у
х
х
S












yoki umumiy maxraj berib soddalashtirsak quyidagi chiqadi:
2S=x
1
y
2
+x
2
y
2
—
x
1
y
1
—
x
2
y
1
+x
2
y
3
+
x
3
y
3
—x
2
y
2
—x
3
y
2
—
x
1
x
4
—
x
4
y
4
+x
1
y
1
+x
4
y
1
—
x
4
y
3
—
x
3
y
3
+x
4
y
4
+
x
3
y
4
=
x
1
y
2
—
x
2
y
1
+
x
2
y
3
—x
3
y
2
—
x
1
y
4
+x
4
y
1
—
x
4
y
3
+x
3
y
4
7.2-shakl. 
Bu hadlarni gruppalab, 
x
i
 
lar qavs oldiga olinsa, quyidagi chiqadi: 
2S=x
1
(y
2
—y
4
)+x
2
(y
3
—y
1
)
+
x
3
(y
4
—
y
2
)+x
4
(y
1
—
y
3
)
Bu yig‘indidagi hadlar soni burchaklar soniga teng bo‘lib, qavslar oldidagi 
abssissalar va qavslar ichidagi ordinatalar ayirmasi ma’lum qoidaga binoan 
o‘zgaradi. Agar qavs oldida 
x
i
 
bo‘lsa, qavs ichidagi ayirmani 
y
i+1
—
y
i-1
deb yozish 
mumkin. Bu son bilan ko‘rsatilsa, quyidagicha bo‘ladi: 
i
=
2
bo‘lsa, qavs ichida 
y
3
—
y
1
 
bo‘ladi, shunda ko‘paytma 
x
2
(y
3
—
y
1
) 
bo‘ladi. 
i=3
bo‘lsa, 
x
3
(y
4
—y
2
)
va hokazo 
yoki umumiy ko‘rinishda 
x
1
(y
i+1
—
y
i-1
)
bo‘ladi. 
Agar qavs oldiga 
y
i
 
olinsa, u vaqtda ko‘paytmaning bir hadi 
y
i
(x
i-1
—x
i+1
) 
bo‘ladi. Shunda poligonning
ikkilangan yuzi 
2S 
quyidagicha topiladi: 
2S=

x
i
(y
i+1
-y
i-1
)
(7.2) 
yoki 
2S=

y
i
(x
i+1
-x
i-1
)
(7.3) 
Bu formulalar yordamida yuzni hisoblashda, maxsus jadval tuziladi. 
Grafik usul.
Plan va kartada tasvirlangan ko‘l, o‘rmon kabi egri chiziqli 

---

shakllar yuzini grafik usul bilan aniqlashda paletka qo‘llaniladi. Paletka to‘g‘ri 
chiziqli va egri chiziqli bo‘ladi. To‘g‘ri chiziqli paletka parallel chiziqli, kvadrat 
katakli bo‘lishi mumkin. 
Kvadrat katakli paletka
ko‘proq qo‘llaniladi, u voskovka, pleksiglas, oyna, 
selluloid kabi shaffof narsadan kvadrat shaklida tayyorlangan varaq bo‘lib (7.3-
shakl), unga tomon uzunligi 1 mm yoki 2 dan 10 mm gacha bo‘lgan kvadrat 
kataklar chizilgan bo‘ladi. Agar kvadrat tomoni 
a 
mm bo‘lsa bir kvadratning yuzi 
s=a
2
 
bo‘ladi. 
Plan masshtabiga qarab, kvadrat yuzi 
s
joydagi turli yuzga to‘g‘ri keladi. 
Agar plan masshtabi 
М
1
bo‘lsa (
M
—masshtab maxraji), kvadratning joydagi yuzi 
s=(Ma)
2

(7.4) 
bo‘ladi. 
7.3-shakl. 
Misol 
a=2 
mm; plan masshtabi 1:5000 bo‘lsa, bir katakning yuzi, (7.4) ga 
ko‘ra, 
s
=(2

5000)
2
=(10000 mm)
2
=(10 m)
2
=100 m
2 
bo‘ladi. 
Berilgan egri chiziqli shakl yuzini aniqlash uchun paletkani plandagi egri 
chiziqli shakl ustiga qo‘yib, avval yuzaga to‘g‘ri kelgan butun kvadrat soni 
aniqlanadi. Keyin shakl egallagan yarim kataklardan chamalab, bir-biriga qo‘shib 
butun kataklar yasaladi va ular soni ham hisobga olinadi. Agar hamma kataklar 
soni 
p 
bo‘lsa, shakl yuzi 
S
quyidagicha topiladi: 
S=sn=(Ma)
2

 n
(7.5) 
7.4-shakl. 
Parallel paletka
—ham pleksiglas, selluloid, voskovka kabi shaffof 
narsadan 10

10 sm o‘lchamda tayyorlangan varaq bo‘lib, unga har 2—3 mm dan 
parallel chiziqlar chizilgan (7.4-shakl). 
Paletka egri chiziqli shakl ustiga shunday qo‘yiladiki, shaklning 
a 
va 
b 
nuqtalari 
parallel
chiziqlar o‘rtasida tursin. Shunda parallel orasi trapetsiya shaklida, 
trapetsiya o‘rta chiziqlari (punktir chiziqlar) esa ularning asoslari bo‘ladi. 

---

Parallel chiziqlar kesmasi o‘rta chiziqlar bo‘ladi. Hamma trapetsiyalarning 
balandliklari parallel oraliqlari bo‘ladi, buni 
h 
desak trapetsiyalar asoslarini 
cd, ef, 
mn, . . . kL 
deb, bo‘larning uzunligini plan masshtabida aniqlagach, 
cd=d
1
, ef
=
d
2
,
. 
. . , 
kL
=
d
n
 
desak shakl yuzi 
S
quyidagicha bo‘ladi: 
S=h(d
1
+d
2
+ . . . +d
n
)=h

d.
(7.6) 
Mexanik usul.
Bu usulda to‘g‘ri va egri chiziqli shakl yuzi turli ko‘rinish 
va tuzilishdagi planimetr yordamida aniqlanadi. Planimetr chizg‘iy va qutbli 
bo‘ladi. 
Chizg‘iy planimetrlarda
shaklning chegarasi bo‘ylab aylanishda asbobning 
hamma qismi harakat qiladi, rolikli va toporik planimetri shunday planimetr 
hisoblanadi. 
Qutbli planimetrlar. 
Qutbli planimetr eng ko‘p ishlatiladigan qurol bo‘lib, 
qutbiy va aylantirish richaglaridan iborat. Bu richaglarning bir-biriga bo‘lgan 
munosabatiga qarab, 
oddiy 
va 
kompensatsion 
planimetrlarga bo‘linadi. 
Kompensatsion planimetr Amsler-Koradi deb ataladi. Shaklga nisbatan qutb turli 
tomonda turishi mumkinki, bunda, asbobdagi xatolar yo‘qoladi. Qutb richagi 
uzunligi o‘zgarmas, aylantirish richagining uzunligi esa o‘zgarmas va o‘zgaradigan 
bo‘ladi. Hozirgi qutbli planimetrlar o‘zgaruvchan richagli qilib tayyorlanadi. 
Planimetrning tuzilishi. 
Qutbli planimetr (7.5-shakl) asosan qutb richagi 
1
, 
aylantirish richagi 
2 
va hisoblash mexanizmi (karetacha) 
11
dan iborat. Hisoblash 
mexanizmi aylantirish richagining bir uchiga o‘rnatilgan bo‘lib, richag bo‘ylab 
suriladi va richag uzunligi 
R 
ni o‘zgartiradi. 
7.5-shakl. Qutbli planimetr. 
1—qutbli richag, 2—aylantirish richagi, 3—ninali og‘ir yuk, 4—to‘qmoqchasimon shtift, 5—
shtift kallagi, 6—shtift chuqurchasi, 7—aylantirish ignasi, 8—dasta, 9—shtift, 10—gayka, 11—
karetacha. 
Qutb richagining bir uchida og‘ir yuk 
3 
bo‘lib, qog‘ozda qo‘zg‘almay 
turishi uchun tagiga igna o‘rnatilgan, bu qutb deyiladi. Ikkinchi uchi 
to‘qmoqchasimon shtiftli 
4 
bo‘lib, uning uchida aylantirish richagidagi maxsus 
chuqurcha 
6 
ga moslangan kallak 
5 
bor, bu orqali qutbli richag ish davrida 
aylantirish richagi bilan birlashadi. 
Aylantirish richagining bir uchida shakl chegarasi (konturi) bo‘ylab 
yurgiziladigan igna 
7
, richag dastasi 
8 
va sterjen-shtift 
9, 
uning gaykasi 
10 
bor, 
shtift tayanch xizmatini o‘taydi. Ikkinchi uchiga planimetrning asosiy qismi 
bo‘lgan hisoblash mexanizmi o‘rnatilgan. Richag uchidagi igna 
7
dan qutb richagi 
birlashadigan chuqurcha 
6 
gacha bo‘lgan oraliq richag uzunligi bo‘ladi. 
Richagning bor bo‘yi shtrixlar bilan bo‘laklarga bo‘lingan, richag uchidan boshlab 

---

millimetr hisobidagi qiymatlari yozilgan; karetachadagi maxsus verner 
19 
orqali 
richag uzunligi 
R 
aniqlanadi. 
Karetacha aylantirish richagining bir uchiga maxsus moslama yo‘li bilan 
o‘rnatilib, o‘rnatish vintlari yordamida mahkamlanadi (8.6-shakl). Ikki sterjen 
orasiga siferblat 
13, 
hisoblash g‘ildiragi 
12 
va g‘ildirak verneri 
14 
o‘rnatilgan. 
G‘ildirakning vertikal tekisligi richag yo‘nalishiga perpendikulyar qilib o‘rnatiladi. 
Aylantirish richagi sanoq olish g‘ildiragi gardishi 
15, 
koretacha roligi 
16 
va shtift 
9
, yordamida qog‘ozda turadi. 
7.6-shakl. Qutbli planimetrning hisoblash mexanizmi (karetachasi). 
12—hisoblash g‘ildiragi, 13—siferblat, 14—g‘ildirak verneri, 15—g‘ildirak gardishi, 16—rolik, 
17, 18—mahkamlash vintlari, 19—aylantirish richagi verneri, 20—mikrometrik vint, 24—25—
turli vintlar. 
Verner 
19 
ni ma’lum sanoqqa aniq qo‘yishda mikrometrik vint 
20 
bura-
ladi. G‘ildirak 
12 
ning aylanasi 
S 10 
bo‘lakka bo‘linib, shtrixlar chizilgan va ularga 
0 
dan 
9 
gacha raqamlar yozilgan. Har qaysi bo‘lak 
10 
ga bo‘lingan, shunda 
g‘ildirakdagi bir bo‘lak (shtrixlar orasi) aylana uzunligi 
S
ning yuzdan biri bo‘ladi. 
Buning o‘ndan biri aylana uzunligining mingdan biri bo‘ladi. G‘ildirak aylanasidan 
sanoq verner 
14 
yordamida olinadi. G‘ildirak aylanasining uzunligi 
S
ning 1000 
dan bir bo‘lagi 
1000
С


. G‘ildirak tishli moslama vositasida siferblatga 
bog‘langan. Siferblat 
10 
bo‘lakka bo‘linib, 
0 
dan 
9 
gacha yozilgan va bundan 
maxsus indeks (ko‘rsatgich) orqali sanoq olinadi. G‘ildirak bir marta to‘la 
aylanganda siferblat indeksi bir xona suriladi. SHunga ko‘ra, g‘ildirak 
10 
marta 
aylanganda siferblat bir marta aylanadi. Sanoq mexanizmidan to‘rt raqamli sanoq 
olinadi: siferblat indeksi bo‘yicha bir raqam (shaklda 
3) 
g‘ildirakdan ikki raqam, 
biri vernerning nol shtrixigacha raqamlar yozilgan shtrixlardan (shaklda 
5
), 
ikkinchisi shu sanoq olingan shtrixdan verner noligacha bo‘lgan bo‘laklar soni 
(shaklda 
8), 
keyin verner bo‘laklaridan g‘ildirak shtrixiga to‘g‘ri kelgani (shaklda 
1
); shunda sanoq 3581 bo‘ladiki, bu sanoq hech narsani bildirmaydi. Planimetrii 
bir shakl chegarasi bo‘ylab aylantirish oldidan va aylantirib chiqqandan keyin 
olingan sanoqlar ayirmasi fizikaviy ma’noga ega bo‘lib, shu sanoqlar ayirmasi 
orqali yuz hisoblanadi, buni quyida ko‘rib chiqamiz. 
Planimetrii shakl chegarasi bo‘ylab aylantirishda igna 
7 
konturda 
belgilangan bosh nuqtaga qo‘yiladi, dasta 
8 
dan ushlanib igna soat strelkasining 

---

aylanish yo‘nalishi bo‘yicha chegara chizig‘idan bosh nuqtaga tomon yurgiziladi. 
Boshda olingan sanoq 
p
1
 
dan oxirgi olingan sanoq 
p
2
 
katta bo‘lishi kerak; agar 
kichik bo‘lsa, unga 10 qo‘shiladi. Sixchani chegara bo‘ylab bir xil tezlikda 
ohistalik bilan yurgizish kerak.