Handbook of Photovoltaic Science and Engineering

Partially clouded sky
Arbitrary scale
−
90
−
60
−
30
0
30
60
90
Sun
[
q
ZS
]
Zenith angle
[
q
Z
]
∗
Figure 20.15
Typical angular distribution of the sky irradiance. The values are taken along the
length of the meridian containing the sun,
ψ
=
ψ
S

---

930
ENERGY COLLECTED AND DELIVERED BY PV MODULES
the atmosphere and on the zenith angle of the sun. The increase in diffuse radiance near
the horizon is due to the albedo radiation of the Earth and is called
horizon brightening
.
The radiance distributions associated with overcast skies are very well described by
Kondratyev: “
for dense non-transparent cloudiness, the azimuthal dependence of diffuse
radiation intensity is very weak. There is a slight monotonic increase of the radiance from
the horizon upward towards the zenith
” [27].
Some models can be derived from these general ideas. The simplest model makes
use of the assumption that the sky radiance is isotropic, that is, every point of the
celestial sphere emits light with equal radiance,
L(θ
Z
, ψ )
=
constant. The solution of
equations (20.30 and 20.31) leads then to
D(β, α)
=
D(
0
)
1
+
cos
β
2
(
20
.
32
)
Because of its simplicity, this model has achieved great popularity, despite the fact that
it systematically underestimates diffuse irradiance on surfaces tilted to the equator.
The opposite approach assumes that all the diffuse radiation is circumsolar, that is,
from the sun. This is really a case of treating diffuse radiation as though it were direct,
and leads to
D(β, α)
=
D(
0
)
cos
θ
ZS
max
(
0
,
cos
θ
S
)
(
20
.
33
)
This model also has the advantage of being very simple to use, but in general it overes-
timates diffuse irradiances.
In general, better results are obtained with so called anisotropic models. Hay and
Davies [28] proposed to consider the diffuse radiation as composed by a circumsolar
component coming directly from the direction of the sun, and an isotropic component
coming from the entire celestial hemisphere. Both components are weighted according to
the so-called anisotropy index,
k
1
, defined as
k
1
=
B(
0
)
B
0
(
0
)
=
B
B
0
ε
0
(
20
.
34
)
The solution of equation (20.31) is now
D(β, α)
=
D
I
(β, α)
+
D
C
(β, α)
(
20
.
35
)
where
D
I
(β, α)
=
D(
0
)(
1
−
k
1
)
1
+
cos
β
2
(
20
.
36
)
and
D
C
(β, α)
=
D(
0
)k
1
cos
θ
ZS
max
(o,
cos
θ
S
)
(
20
.
37
)
respectively, define the contribution of the isotropic and of the circumsolar components.

---

RADIATION ON INCLINED SURFACES
931
Note than
k
1
is just the ratio between a pyrheliometer’s reading and the solar
constant, once corrected by the eccentricity due to the ecliptic orbit of the Earth around
the sun. This way,
k
1
can be understood as a measure of the instantaneous atmospheric
transmittance for direct irradiance. When the sky is completely clouded over,
k
1
=
0
and the above equation becomes the same as that for the simple isotropic model. This
anisotropic model is an excellent compromise between simplicity and precision. It has
been well-validated against measurements performed at different worldwide locations,
and has been extensively used, for example, for the elaboration of the European Atlas of
the Solar Radiation [9].
Also, very commonly employed, in particular with digital machines, is the model
that has been put forward by Perez [29, 30]. It divides the sky into three zones acting
as diffuse radiation sources: a circumsolar region, a horizontal band and the rest of the
celestial hemisphere. The relative contributions of each component is modulated by means
of empirical factors determined from the study of data from 18 measurement stations at 15
sites in North America and Europe. The Perez model used to perform slightly better than
others [31], because the larger number of modulating factors allows for the consideration
of a larger number of different sky conditions.