Sferik koordinatalar sistemasining ba’zi tadbiqlar

r
uchlik orqali 
aniqlanadi, bu yerda 
1)
berilgan 
Р
nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa nomanfiydir, 
ya’ni 
0

r
; 
2)
Р
nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va 
z
o‘qi orasidagi 

burchak uchun 




180
0

munosabat o‘rinli; 
3)
Р
nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning 
ху
tekislikga 
proyeksiyasi va 
х
o‘qi orasidagi 

burchak uchun 




360
0

munosabat o‘rinli. 

burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish 
burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi. 

ga esa azimut burchagi deyiladi. 

va 

burchaklar 
0
=
r
bo‘lganda aniqlanmagan.
 
Bundan tashqari 
0
sin
=

ya’ni 
0
=

yoki 

=
180

bo‘lganda 

burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11 
standartda qayd qilingan. Bundan tashqari,
 

zenit burchak o‘rniga 
Р
radius vektor 
va 
ху
tekislik orasidagi 

−

90
ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga 
kenglik deyiladi va 
у
ham 

harfi bilan belgilanadi. Kenglik 




−
90
90

oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda 

va 

burchaklar 
0
=
r
bo‘lganda 
ma’noga ega emas; 
0
cos
=

, ya’ni 

−
=
90

yoki 

=
90

bo‘lganda 

ma’noga ega 
emas. 
Boshqa koordinatalar sistemasiga o‘tish 
1)
 
Dekart koordinatalar sistemasi.
Agar nuqtaning 
(
)


,
,
r
sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda dekart 
koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi: 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
9

---






=
=
=
.
cos
;
sin
sin
;
cos
sin





r
z
r
y
r
x
Bunda 
=
+
+
=
+
+





2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin
cos
sin
r
r
r
z
y
x
(
)
=
+
=
+
+
=






2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
r
r
r
r
(
)
.
cos
sin
2
2
2
2
r
r
=
+
=


Aksincha, dekart koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga 
o‘tish quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi: 









=
+
=
+
+
=
+
+
=
.
;
arccos
;
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
arctg
z
y
x
arctg
z
y
x
z
z
y
x
r


Sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani quyidagicha hisoblanadi: 
(
)
(
)
=
−
−
=


=
0
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
,
,
,
,
















r
r
r
r
r
r
z
y
x
J
(
)
+
+
=







sin
cos
sin
sin
cos
cos
cos
2
2
2
2
r
r
(
)
=
+
+





2
2
2
2
sin
sin
cos
sin
sin
r
r
r
.
sin
sin
sin
sin
cos
2
2
2
2
2





r
r
r
=
+
=
2)
 
Silindrik koordinatalar sistemasi. 
Agar nuqtaning sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda silindrik 
koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagicha amalga oshiriladi: 





=
=
=
.
cos
;
;
sin





r
z
r
Aksincha, silindrik koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga 
o‘tish: 






=
=
+
=





;
;
2
2
z
arctg
z
r
tengliklar yordamida amalga oshiriladi. Sferik koordinatalar sistemasidan 
silindrik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani uchun 
r
J
=
tenglik o‘rinlidir. 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
10

---

Shuni alohida ta’kidlash joizki, umumlashgan sferik koordinatalar sistemasiga





=
=
=










sin
;
cos
sin
;
cos
cos
cr
z
br
y
ar
x
tenglik yordamida amalga oshiriladi. Bunda 
.
2
2
,
2
0
,
0







−



r
Fridrixs modeli 
(

3
3
;
:


−
=
Т
orqali uch o‘lchamli torni, 
( )
3
2
Т
L
orqali 
3
Т
da aniqlangan 
kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul 
qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz. 
Ushbu bo‘limda 
( )
3
2
Т
L
Gilbert fazosida
V
H
H


−
=
0
tenglik yordamida aniqlangan va Fridrixs modeli deb ataluvchi operatorni 
qaraymiz. Bu yerda 
0
H
qo‘zg‘almas operatori deb ataladi va u ko‘paytirish 
operatoridir: 
(
)(
) (
) (
)
;
,
,
cos
cos
cos
3
,
,
0
z
y
x
f
z
y
x
z
y
x
f
H
−
−
−
=
V
esa integral operator: 
( )(
) (
)
(
) (
)
;
,
,
,
,
,
,
,
,
'
'
'
'
'
'
'
'
'
3
dz
dy
dx
z
y
x
f
z
y
x
v
z
y
x
v
z
y
x
Vf
T

=
0


- ixtiyoriy musbat son (ta’sirlashish parametri), 
( )



,
,
v
esa 
3
Т
da 
aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya. Ushbu shartlar asosida 

H
operator 
chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Bu tasdiqlar 
funksional analiz kursidan bizga ma’lum bo‘lgan operatorning chiziqliligi, 
chegaralanganligi va o‘z-o‘ziga qo‘shmaligi ta’riflari yordamida tekshiriladi. 
Avvalo shuni qayd qilish lozimki, 

H
o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lganligi 
bois uning spektri haqiqiy sonlar o‘qida yotadi. 
Aniqlanishiga ko‘ra 
V
qo‘zg‘alish operatori ajralgan yadroli bir o‘lchamli o‘z-
o‘ziga qo‘shma integral operatordir. Shu sababli chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda 
muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi mashhur Veyl teoremasiga ko‘ra 

H
operatorning muhim spektri 
0
H
qo‘zg‘almas operatorning muhim spektriga teng 
bo‘ladi, ya’ni 
( )
( )
.
0
H
H
ess
ess



=
0
H
operatori 
z
y
x
cos
cos
cos
3
−
−
−
funksiyaga 
ko‘paytirish operator bo‘lganligi uchun bu operator sof muhim spektrga ega bo‘ladi, 
ya’ni
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
11

---

( )
( )
 
6
;
0
0
0
=
=
H
H
ess


. 
Yuqoridagi mulohazaga ko‘ra 
( )
 
6
;
0
=


H
ess
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, 

H
operatorning muhim spektri 

ta’sirlashish parametridan bog‘liq emas. 
Endi 

H
operatorning diskret spektrini, ya’ni chekli karrali yakkalangan xos 
qiymatlarini tahlil qilamiz. Buning uchun odatda 
 
6
;
0
\
С
z

soni uchun 
zf
f
H
=

xos qiymatga nisbatan tenglama qaraladi va 
 
6
;
0
\
С
sohada regulyar bo‘lgan 
( )
(
)

−
−
−
−
−
=

3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
1
T
z
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
z


yordamchi funksiyani qaraymiz. Unga 

H
operatorga mos Fredgolm 
determinanti deyiladi. Bu funksiyaning xarakteristik xossalaridan biri quyidagidan 
iborat: 
 
6
;
0
\
С
z

soni 

H
operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun 
( )
0
=

z

bo‘lishi 
zarur va yetarlidir.
Shunday qilib, 

H
operatorning diskret spektri uchun
( )
 
( )


0
:
6
;
0
\
=


=
z
С
z
H
disc



tenglik o‘rinli ekan. Tekshirib ko‘rish mumkinki, 
( )



funksiya 
(
)
0
;

−
va 
(
)
+
,
6
oraliqlarda monoton kamayuvchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy 
0


va 
6

z
sonlari uchun 
( )
1


z

tengsizlik o‘rinli. Bu esa ixtiyoriy 
0


soni 
uchun 

H
operator 6 dan katta xos qiymatlarga ega emasligini bildiradi. Manfiy xos 
qiymatlarni o‘rganish uchun 
( )



funksiyani muhim spektrning chap chegarasi 
0
=
z
nuqtada qo‘shimcha aniqlab olamiz. Lebeg integral belgisi ostida limitga o‘tish 
haqidagi Lebeg teoremasiga ko‘ra qiymati chekli yoki cheksiz bo‘lgan
(
)
=
−
−
−
−

−
→
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
0
cos
cos
cos
3
,
,
lim
T
z
z
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
(
)

−
−
−
=
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
limit mavjud bo‘ladi. 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
12

---

Oxirgi integralning chekli ekanligini ko‘rsatamiz. Tanlanishiga ko‘ra 
( )



,
,
v
-
3
Т
kompakt to‘plamda aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyadir. Shu sababli 
shunday 
0

М
soni topilib, ixtiyoriy 
(
)
3
,
,
Т
z
y
x

nuqtada
(
)
M
z
y
x
v

,
,
(1) 
tengsizlik bajariladi (kompakt to‘plamda aniqlangan uzluksiz funksiyalarning 
chegaralanganlik xossasi). 
x
cos
funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasiga ko‘ra 
(
) (
)
....
!
4
1
!
2
1
cos
cos
cos
3
4
4
4
2
2
2
+
+
+
−
+
+
=
−
−
−
z
у
x
z
у
x
z
y
x
tenglik barcha 
(
)
3
,
,
Т
z
y
x

nuqtalarda bajariladi. U holda shunday 
0
,
2
1

с
с
va 
0


sonlar topilib, istalgan 
(
)
( )
(
)
( ) ( ) ( )


2
2
'
2
'
2
'
3
'
'
'
:
,
,
:
0
,
,



+
+

=

z
y
x
Т
z
y
x
B
z
y
x
nuqtada 
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
cos
cos
cos
3
z
у
x
c
z
y
x
z
у
x
с
+
+

−
−
−

+
+
(2) 
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Quyidagi
(
)

−
−
−
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
integralda to‘plam bo‘yicha additivlik xossasidan foydalanamiz: 
(
)
(
)
( )
+
−
−
−
=
−
−
−


o
В
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v

'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
cos
cos
cos
3
,
,
3
(
)
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
\
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
3

−
−
−
+
o
В
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v

(3) 
(3)-tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchiga (1)- va (2)- 
baholashlardan foydalanamiz: 
(
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
0
2
'
2
'
2
'
'
'
'
0
2
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2


+
+

−
−
−


B
B
z
y
x
dz
dy
dx
с
М
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
(4) 
(4)-tengsizlikning o‘ng tomonidagi integralda sferik koordinatalar sistemasiga 
o‘tamiz: 
( ) ( ) ( )
( )
=
=
+
+
  

−








0
2
2
2
0
2
2
0
2
'
2
'
2
'
'
'
'
cos
r
d
drd
r
z
y
x
dz
dy
dx
B
.
4
2
2



=


=
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
13

---

Demak,
(
)
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
0
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
+

−
−
−


В
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
Endi (3)-tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchini baholaymiz: 
z
y
x
cos
cos
cos
3
−
−
−
funksiya yagona 
(
)
3
0
,
0
,
0
Т

nuqtada minimumga ega. 
Shu sababli shunday 
0

c
soni topilib, barcha 
(
)
( )
0
\
,
,
3

B
Т
z
y
x

nuqtalar uchun
0
cos
cos
cos
3


−
−
−
c
z
y
x
tengsizlik o‘rinli. Bundan va (1)-tengsizlikdan 
(
)
( )
( )




−
−
−
0
\
'
'
'
0
\
2
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
3
3
cos
cos
cos
3
,
,


B
Т
B
Т
dz
dy
dx
с
М
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
.
8
3
2
2



с
М
Shunday qilib, 
(
)



−
−
−
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
Т
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
ekan. 
Yuqorida keltirilgan mulohazalardan Fridrixs modelining va umumlashgan 
Fridrixs modelining xos qiymatlari soni va joylashgan o‘rnini aniqlashda foydalanish 
mumkin [1-30]. Bundan tashqari, Fridrixs modellari oilasi va umumlashgan Fridrixs 
modellari oilasiga mos Fredgolm determinanti 
( )
z
k
;


funksiyada 
( )
0
;



funksiyani uzluksizlikga tekshirishda alohida ahamiyat kasb etadi.