|
1-misol.
Ushbu
1
x
2y
y
2
,
y
(0) = 1
Koshi masalasining [0; 1] kesmadagi sonli yechimini Eyler usuli bilan top-
ing.
Yechish.
Bunda
n
= 10 deb olamiz, u holda
h
=(1-0)/10 = 0,1.
Berilgan differensial tenglamani kanonik koʻrinishda yozib olamiz:
2
x
-
2y
1
)
,
(
y
y
x
f
Boshlangʻich nuqta:
x
0
= 0,
y
0
= 1.
Dastlabki
x
1
nuqta uchun hisoblashlar:
1,3
3
1
,
0
1
)
0
1
2
(1
0,1
1
1)
f(0;
1
,
0
1
)
y
;
f(x
h
y
y
2
0
0
0
1
x
1
=
x
0
+
h
= 0 + 0,1 = 0,1
Keyingi
x
2
nuqta uchun hisoblashlar
2
,
0
1
,
0
1
,
0
x
x
1,659
59
,
3
1
,
0
3
,
1
0,01)
2,6
(1
0,1
1,3
f(0,1;1,3)
0,1
1,3
)
y
;
f(x
h
y
y
1
2
1
1
1
2
h
Yana qolgan sakkizta nuqta uchun xuddi shunday hisoblashlarni baja-
rishimiz mumkin, chunki,
n
= 10 deb tanlab olingan.
Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar (11-rasm):
>
>
>
Agar aniqlikni yanada oshirish lozim boʻlsa, u holda:
;
50
,
,
1
,
1
)
0
(
,
)
(
2
1
)
(
2
numsteps
plot
output
t
y
t
t
y
t
y
dt
d
Euler
36
11-rasm.
Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar grafigi.
2-misol.
Quyidada keltirilgan Koshi masalasini takomillashtirilgan
Eyler usuli bilan yechish.
Yechish.
Koshi masalasi
y
' - 2
y
+
x
2
= 1,
x
[0;1], y(0) = 1.
Faraz qilaylik,
n
= 10 ,
h
= (1 - 0)/10 = 0,1.
Boshlangʻich nuqta
x
0
= 0,
y
0
= 1.
Dastlabki nuqtani hisoblash.
1
,
0
x
1,32975
)
0,05
1,15
2
(1
0,1
1
1,15)
f(0,05;
0,1
1
))
0
-
1
2
(1
0,05
1
f(0,05;
0,1
1
1))
f(0;
2
1
,
0
1
;
2
0,1
f(0
0,1
1
))
y
;
f(x
2
h
y
;
2
h
f(x
h
y
y
0
1
2
2
0
0
0
0
0
1
h
x
Keyingi 2, 3, ... ,10 nuqtalar uchun hisoblashlar xiddi shunday.
3-misol.
Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan Koshi masalasini 4-tartibli
Runge-Kutta usuli bilan yechish.
Yechish.
Koshi masalasi
y
' - 2
y
+
x
2
= 1,
x
[0;1],
y
(0) = 1.
Faraz qilaylik,
n
= 10 ,
h
= (1 - 0)/10 = 0,1.
Boshlangʻich nuqta
x
0
= 0,
y
0
= 1.
Dastlab C
0
, C
1
, C
2
, C
3
larning qiymatlarini hisoblab olamiz:
3,65545
0,1
1,332725
2
1
1,332725)
f(0,1;
)
K
h
y
h;
f(x
C
3,32725
0,05
1,164875
2
1
1,164875)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3,2975
0,05
1,15
2
1
1,15)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3
0
1
2
1
1)
f(0;
)
y
;
f(x
C
2
2
0
0
3
2
1
0
0
2
2
0
0
0
1
2
0
0
0
37
3,65545
0,1
1,332725
2
1
1,332725)
f(0,1;
)
K
h
y
h;
f(x
C
3,32725
0,05
1,164875
2
1
1,164875)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3,2975
0,05
1,15
2
1
1,15)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3
0
1
2
1
1)
f(0;
)
y
;
f(x
C
2
2
0
0
3
2
1
0
0
2
2
0
0
0
1
2
0
0
0
12-rasm. ODTni 1-tartibli Eyler usuli bilan yechish algoritmi.
38
Dastlabki nuqtani hisoblash:
67
1,33174916
3,65545)
3,32725
2
3,2975
2
(3
6
0,1
1
)
C
C
2
C
2
(C
6
h
y
y
3
2
1
0
0
1
Keyingi 2, 3, ... ,10 nuqtalar uchun hisoblashlar xiddi shunday.
13-rasm. Takomillashtirilgan Eyler usulining algoritmi.
14-rasm.4-tartibli Runge-Kutta usulining algoritmi.
4-misol.
Ushbu
у
х
у
у
2
oddiy differensial
tenglamaning [0,1]
kesmada olingan va
y
(0)=1 boshlang`ich shartni qanotlantiruvchi
y
(
x
)
М_Eiler
1
Kiritiladigan ma'lumotlar:
h - qadam
x – joriy nuqtaning koordinatasi
y – funksiyaning tugundagi qiymati
c
0
=f(x,y)
с
1
=f(x+h/2,y+h/2
c
0
)
y=y+c
1
h
x=x+h
2
Chiqish
3
Chiqariladigan ma'lumotlar: x –
tugunning koordinatasi; y –
funksiyaning shu tugundagi qiymati
39
yechimining taqribiy qiymatlarini Eyler usuli yordamida
h
=0,2 qadam bi-
lan toping.
Yechish:
2
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
;
2
)
,
(
0
0
h
y
x
b
a
y
x
y
y
x
f
quyidagi hisoblash jadvalini tuzamiz.
1-qator .
i=0
,
0000
,
1
,
0
0
0
y
x
2000
,
1
2
,
0
1
;
0
,
2000
,
0
1
*
2
,
0
)
,
(
000
,
1
1
0
*
2
1
2
)
,
(
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
y
y
y
i
y
y
y
y
x
hf
y
y
x
y
y
x
f
i
i
i
2-qator.
i=1
,
;
2000
,
1
;
2
,
0
2
,
0
0
1
1
y
x
3733
,
1
1733
,
0
2
,
1
1733
,
0
8667
,
0
*
2
,
0
)
,
(
8667
,
0
2
,
1
2
,
0
*
2
2
,
1
2
)
,
(
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
y
y
y
y
x
hf
y
y
x
y
y
x
f
i=2,3,4,5 lar uchun hisoblanadi.
i
x
i
y
i
f
(
x
i
,
y
i
)
y
i
1
0,1
1,0000
1,0000
0,200
2
0,2
1,2000
0,8667
0,1733
3
0,4
1,3733
0,7805
0,1561
4
0,6
1,5294
0,7458
0,1492
5
0,8
1,6786
0,7254
0,1451
6
1,0
1,8237
6. Koshi masalasi va chegaraviy masalani bir qadamli sonli
usullar bilan Maple dasturi yordamida yechish
Oddiy differensial tenglamani Maple dasturida dsolve komandasi
yordamida sonli yechish va uning yechimi grafigini odeplot komandasi
yordamida qurish.
Differensial tenglama (Koshi masalasi yoki chegaraviy masala)ning
sonli yechimini topish uchun
dsolve
komandasida
type=numeric
(yoki
sodda qilib
numeric
) parametrni koʻrsatish kifoya. Bunday holda
differensial tenglamani yechish komandasi quyidagicha boʻladi:
40
dsolve(eq, vars, type=numeric, options),
bu yerda
eq
– tenglama;
vars
– nomaʼlum funksiyalar roʻyxati;
options
–
Differensial tenglamani sonli yechishni koʻrsatuvchi parametrlar.
Maple
da quyidagi usullar ishlab chiqilgan:
method=rk2
–Runge-Kuttaning 2-tartibli usuli;
method=rk3
–Runge-Kuttaning 3-tartibli usuli;
method=rk4
–Runge-Kuttaning 4-tartibli klassik usuli;
method=rkf45
jimlik qoidasi bilan oʻrnatilgan Runge-Kutta-
Felbergning 4-5-tartibli usuli;
method=dverk78
–Runge-Kuttaning 7-8-tartibli usuli;
method=classical
– Runge-Kuttaning 3-tartibli klassik usuli;
method=gear
– Girning bir qadamli usuli;
method=mgear
– Girning koʻp qadamli usuli.
Differensial tenglama sonli yechimining grafigini qurish uchun ushbu
odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2)
komandadan
foydalanish
mumkin,
bu
yerda
funksiya
sifatida
dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric)
– sonli yechish komandasidan foy-
dalanil-gan, bundan keyin esa kvadrat qavsda oʻzgaruvchi va nomaʼlum
funksiya
[x,y(x)]
hamda grafik qurishning intervali
x=x1..x2
kabi
koʻrsatilgan.
Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib koʻraylik va quyidagi
tadbiqlarni bajaraylik:
1-misol
.
Quyidagi Koshi masalasining sonli va taqribiy yechimini 6-
tartibli darajali qator koʻrinishida toping:
x
y
x
y
sin
1
,
0
)
sin(
'
,
1
)
0
(
y
.
Yechish:
Avvalo Koshi masalasining sonli yechimini topamiz, keyin
esa topilgan yechimning grafigini quramiz:
> restart; Ordev=6:
> eq:=diff(y(x),x)+x*sin(y(x))= -0.1sin(x):
> cond:=y(0)=-1:
> de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric);
de
:=proc(
rkf45_x
)...end proc
Eslatma
: Natijani chiqarish qatorida
rkf45
usuldan foydalanilganlik
haqida maʼlumot chiqadi. Agar satr kerakli maʼlumot bermasa, bu oraliq
komandani ikki nuqta qoʻyish bilan ajratib qoʻyish lozim. Agar
x
ning
biror fiksirlangan qiymati uchun natija olish (masalan, yechimning shu
41
nuqtadagi hosilasi qiymatini chiqarish) zarur boʻlsa, masalan,
х
=0.5
nuqtada, u holda quyidagilar teriladi (15-rasm):
> de(0.5);
> with(plots):
> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2);
Endi Koshi masalasining yechimini darajali qator koʻrinishida to-
pamiz hamda sonli yechim va olingan darajali qatorning grafigini ular
mosroq tushishi mumkin boʻlgan interval uchun yasaymiz (16-rasm).
> dsolve({eq, cond}, y(x), series);
> convert(%, polynom):p:=rhs(%):
> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-2..2, thickness=2,
color=black):
> p2:=plot(p,x=-2..2,thickness=2,linestyle=3,
color=blue):
> display(p1,p2);
15-rasm. Koshi masalasi sonli
yechimining grafigi.
16-rasm. Koshi masalasining aniq
va darajali qator bilan taqribiy
yechimlarining grafigi.
42
Yechimning darajali qator bilan juda yaqin qiymatlari
2 <
x
< 2
oraliqda ekanligi grafikdan koʻrinib turibdi (14-rasm).
Differensial tenglama sonli yechimini grafik koʻrinishda ifodalashning
Maple dasturidagi Detools paketi.
Koshi masalasini sonli yechish, yechimning grafigini qurish va
fazoviy portretini chizish uchun
Mapl
da maxsus paket
Do'stlaringiz bilan baham: |
