|
𝑃
𝑛
(𝑥) = √2𝑛 + 1√
2(𝑛 − 𝑚)!
(𝑛 + 𝑚)!
𝑃
𝑛
𝑚
(𝑥),
адабиётларда тез-тез учрайдиган
𝑈 =
𝑓𝑀
𝑟
{1 + ∑ 𝐽
𝑛
(
𝑟
0
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=2
𝑃
𝑛
(𝑠𝑖𝑛 𝜑)}
+
𝑓𝑀
𝑟
{∑ ∑ (
𝑟
0
𝑟
)
𝑛
𝑛
𝑚=1
∞
𝑛=2
𝑃
𝑛
(𝑠𝑖𝑛 𝜑)[𝐴
𝑛,𝑚
∗
𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜆) + 𝐵
𝑛,𝑚
∗
𝑠𝑖𝑛(𝑚𝜆)]},
формулага келамиз, бунда
𝐴
𝑛,𝑚
∗
= √
(𝑛 + 𝑚)!
2(𝑛 − 𝑚)!
𝐴
𝑛,𝑚
√1 + 2𝑛
, 𝐵
𝑛,𝑚
∗
= √
(𝑛 + 𝑚)!
2(𝑛 − 𝑚)!
𝐵
𝑛,𝑚
√1 + 2𝑛
.
Агар
𝐴
𝑛,𝑚
∗
ва
𝐵
𝑛,𝑚
∗
ларни
𝐽
𝑛,𝑚
ва
𝜆
𝑛,𝑚
ларга
𝐴
𝑛,𝑚
∗
= 𝐽
𝑛,𝑚
𝑐𝑜𝑠(𝑚 𝜆
𝑛,𝑚
),
𝐵
𝑛,𝑚
∗
=
𝐽
𝑛,𝑚
𝑠𝑖𝑛(𝑚 𝜆
𝑛,𝑚
)
ўзгартирсак, ернинг ўзига тортиш потенциалини бошқа
ифодасини оламиз:
𝑈 =
𝑓𝑀
𝑟
{1 + ∑ (
𝑟
0
𝑟
)
𝑛
𝐽
𝑛
∞
𝑛=2
𝑃
𝑛
(𝑠𝑖𝑛 𝜑) +
∑ ∑ 𝐽
𝑛,𝑚
(
𝑟
0
𝑟
)
𝑛
𝑛
𝑚=1
∞
𝑛=2
𝑃
𝑛
(𝑠𝑖𝑛 𝜑)𝑐𝑜𝑠[𝑚(𝜆 − 𝜆
𝑛,𝑚
)]}.
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
26
Формулалардаги
𝐽
𝑛
га пропорционал бўлган қўшилувчилар зональ
гармониклар дейилади. Ернинг ўзига тортиш потенциалининг биринчи зональ
гармоник коэффициентлари тажрибалар натижаси асосида
𝐽
2
= −1082,63 ∙ 10
−6
, 𝐽
3
= 2,54 ∙ 10
−6
, 𝐽
4
= 1,59 ∙ 10
−6
𝐽
5
= 0,23 ∙ 10
−6
, 𝐽
6
= −0,50 ∙ 10
−6
, 𝐽
7
= 0,36 ∙ 10
−6
𝐽
8
= 0,12 ∙ 10
−6
, 𝐽
9
= 0,10 ∙ 10
−6
.
𝑛 ≠ 𝑚
бўлганда
𝐴
𝑛,𝑚
∗
ва
𝐵
𝑛,𝑚
∗
ларга пропорционал тессериаль гармоник
коэффициентлар ҳамда
𝑛 = 𝑚
бўлгандаги секториал гармониклар қуйидаги
жадвалга келтирилган:
n
2
3
3
3
4
4
4
4
m
2
1
2
3
1
2
3
4
𝐴
𝑛,𝑚
∗
∙
10
8
241,290
196,980
89,204
68,630
-52,989
33,024
98,943
-7,969
𝐵
𝑛,𝑚
∗
∙
10
8
-136,41
26,015
-63,468
143,04
-48,765
70,633
-15,467
33,928
Геопотенциал қаралаётган
𝑂𝑥𝑦𝑧
координаталар системасида
𝑂𝑧
ернинг
айланиш ўқи билан устма-уст тушадиган қилиб танланганлигидан
𝐴
𝑛,𝑚
∗
= 𝐵
𝑛,𝑚
∗
= 0.
Геопотенциалнинг ифодасидаги биринчи қўшилувчи шарнинг зичликнинг
сферик тақсимланиши потенциали бўлиб, қолган барча қўшилувчилар ернинг
сферик структурадан фарқини характерлайди. Асосий гармоника бўлган зональ
гармоника эса ернинг қутбларда сиқилишини ифодалайди. Тоқ тартибли зональ
гармониклар ернинг экватор текислигига нисбатан асимметриясини, тессериаль
ва секториал гармониклар эса ернинг жисмнинг айланиш ўқига нисбатан
динамик симметрикликдан фарқини аниқлаб беради.
Шу ўринда сферик функцияларни яна амалий аҳамиятга эга бўлган бир
хоссасини келтирамиз.
𝜑
га боғлиқ бўлмаган сферик функция
-
𝑃
𝑛
(cos 𝜃)
функцияни оламиз ва
𝑃
𝑛
2
(cos 𝜃)
функциядан бирлик сфера бўйича интегрални
ҳисоблаймиз:
∬ 𝑃
𝑛
2
(cos 𝜃)
𝑆
𝑑𝜎 = ∫ ∫ 𝑃
𝑛
2
(cos 𝜃) sin 𝜃 ∙ 𝑑𝜃𝑑𝜑
2𝜋
0
𝜋
0
=
2𝜋 ∫ 𝑃
𝑛
2
(cos 𝜃) sin 𝜃𝑑𝜃
2𝜋
0
= 2𝜋 ∫ 𝑃
𝑛
2
(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
=
4𝜋
2𝑛 + 1
.
бунда
𝑑𝜎 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ∙ 𝑑𝜃𝑑𝜑, 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑥
алмаштиришлар бажарилди ва
𝐼
0
= ∫[𝑃
𝑛
𝑚
(𝑥)]
2
𝑑𝑥
1
−1
=
2
2𝑛 + 1
дан фойдаланилди.
Худди шу каби бошқа функцияларга нисбатан
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
27
∫ ∫ [𝑃
𝑛
𝑚
(cos 𝜃)]
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝑚𝜑 ∙ sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜑 = 𝜋 ∫[𝑃
𝑛
𝑚
(𝑥)]
2
𝑑𝑥
1
−1
2𝜋
0
𝜋
0
тенглик ҳосил бўлади. Бу тенглик ва
∫[𝑃
𝑛
𝑚
(𝑥)]
2
𝑑𝑥 =
2
2𝑛 + 1
∙
1
−1
(𝑛 + 𝑚)!
(𝑛 − 𝑚)!
формуладан фойдаланиб қуйидаги муносабатларни ҳосил қиламиз:
{
∬[𝑃
𝑛
(cos 𝜃)]
2
𝑑𝜎 =
4𝜋
2𝑛 + 1
,
𝑠
∬[𝑃
𝑛
𝑚
(cos 𝜃) cos 𝑚𝜑]
2
𝑑𝜎 =
2𝜋
2𝑛 + 1
(𝑛 + 𝑚)!
(𝑛 − 𝑚)!
,
𝑠
∬[𝑃
𝑛
𝑚
(cos 𝜃) sin 𝑚𝜑]
2
𝑑𝜎 =
2𝜋
2𝑛 + 1
(𝑛 + 𝑚)!
(𝑛 − 𝑚)!
.
𝑠
Бу формулалардан сфера сиртида берилган ихтиёрий функцияни сферик
функциялар бўйича ёйиш масалаларида фойдаланилади.
Айтиш жоизки, сферик функциялар аппарати электротехника ва уч
ўлчовли фазода геофизик майдонларнинг потенциални ҳисоблашда кўп
йиллардан буён қўлланиб келинаётган бўлсада, компьютерларда 3D
графикларни компакт кўринишда тасвирлаш ишларида қўллаш ишлари янги
йўналишдир. Бунга сабаб кўплаб уч ўлчовли объектлар айланма жисмлар
бўлмай, аксиаль симметрик хоссага эмас. Шунга қарамай, «юлдузга ўхшаш»
жисмлар талабига жавоб берувчи объектларга нисбатан сферик функцияларни
қўллаш бўйича усуллар ишлаб чиқилган [1].
Сиқиш алгоритмлари ва тезлаштириш алгоритмларини визуализация
қилишда 3D объектларни сферик гармониклар бўйича спектридан фойдаланиш
телевидения ва компьютерлар графикасида янги йўналиш ҳисобланади. Глобал
ёритиш тенгламасини ечишда объектларнинг геометрик ва светотехник
хусусиятларини ифодалашда сферик гармоникларнинг қўшимча потенциал
имкониятларидан фойдаланиш мумкин.
Биз қуйида
𝑛
ва
𝑚
ларнинг қийматлари саккизга (чапдаги расм) ва ўн
олтига (ўнгдаги расм) тенг бўлганда сферик функциялар 3D форматда кубни ва
шунингдек, инсон бошини (тўр моделини, мос равишда чапдаги ва ўнгдаги
расмлар) қандай аниқликда тасвирлаган расмларини келтирамиз:
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
28
Ушбу келтирилганлардан кўриниб турибдики, сферик функцияларни
ўрганиш жуда ҳам долзарб ҳисобланади. Уларни хоссаларини ўргатишда бир
қатор илғор педагогик технологиялардан [2-6] фойдаланиш мақсадга мувофиқ
ҳисобланади. Бундан ташқари, ўрганилаётган мавзуни математиканинг бошқа
соҳаси билан интеграцияси [7-30] ҳақида маълумотлар бериш муҳим аҳамият
касб этади.
Ўрганилган мавзуни чуқурроқ ўзлаштириш мақсадида мустақил бажариш
учун қуйидаги топшириқлар ва назорат саволларини ўрганиш тавсия қилинади:
1. Сферик функцияларнинг амалий татбиғига оид масалалар (мавзуда
келтирилганлардан ташқари) келтиринг;
2. Сферик функцияларни тўлиқлиги ҳақидаги теоремадан келиб чиқадиган
қуйидаги натижаларни исботланг:
Натижа - 1. Сферик функциялар системаси ёпиқ.
Натижа - 2.
Сферик функциялар системаси Штурм-Лиувилл масаласининг
барча хос функцияларини тўлиқ қоплайди.
Ҳар бир
𝜆 = 𝑛(𝑛 + 1)
хос сонга
2𝑛 + 1
та чизиқли боғлиқ бўлмаган хос
функциялар мос келади, яъни ҳар бир хос сон
2𝑛 + 1
каррали бузилади;
3. Сферик функциянинг таърифини айтинг;
4. Сферик функцияларнинг ошкор кўринишини ёзинг;
5.
𝑃
𝑛
(𝑥)
ва
𝑃
𝑛
𝑚
(𝑥)
(Лежандр кўпҳадлари) функциялар ҳамда уларнинг
хоссаларини айтиб беринг;
6. Cферик функцияларнинг ортогоналлик хоссаси келтиринг;
7. Агар
𝑛 ≠ 0
бўлса
𝑃
2𝑛
(0) ≤
1
√𝜋𝑛
бўлишини исботланг;
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
29
8.
∀𝑥 ∈ [−1,1], ∀𝑛 ∈ 𝑁
лар учун
|𝑃
𝑛
(𝑥)| ≤ √
2
𝜋𝑛(1 − 𝑥
2
)
бўлишини исботланг;
9. Жуфт
𝑛
ларда
𝑃
𝑛
(𝑥)
кўпҳадда
𝑥
нинг фақат жуфт, тоқ
𝑛
ларда
𝑃
𝑛
(𝑥)
кўпҳадда
𝑥
нинг фақат тоқ даражалари қатнашишини кўрсатинг;
10.
𝑑
𝑛−1
𝑑𝑥
𝑛−1
𝑃
𝑛
(𝑥) ва
𝑑
𝑛
𝑑𝑥
𝑛
𝑃
𝑛
(𝑥) ни ҳисобланг.
Do'stlaringiz bilan baham: |
